Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)A，上頂點(diǎn)為B，F(xiàn)₁為左焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，MF₁垂直于x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)且

AB

與

OM

共線，又直線l：（k+2）x-2ky+4k+8=0（k∈R），過(guò)定點(diǎn)P，且P恰在橢圓的左準(zhǔn)線上．
（1）求定點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求橢圓C的方程；
（3）設(shè)直線l與直線MF₁的交點(diǎn)為Q，當(dāng)k為何值時(shí)以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)B？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：探究型,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：對(duì)第（1）問(wèn)，將直線l的方程中的k分離出來(lái)，根據(jù)定點(diǎn)不隨k的改變而改變，即可獲得定點(diǎn)．
對(duì)第（2）問(wèn)，由P點(diǎn)在橢圓的左準(zhǔn)線上，得a與c的等量關(guān)系；由MF₁垂直于x軸，可設(shè)M（-c，y₀），利用

AB

與

OM

共線的充要條件，得y₀的表達(dá)式，再將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓方程中，得a，c的另一個(gè)關(guān)系，聯(lián)立關(guān)于a，c的兩個(gè)方程，可得a，c的值，從而得b²，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
對(duì)第（3）問(wèn)，設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，y₁），可用y₁表示

BQ

的坐標(biāo)，而

BP

的坐標(biāo)可求，由

BP

⊥

BQ

，得關(guān)于y₁的方程，可得y₁的值，由兩點(diǎn)的斜率公式，得直線PQ的斜率，即為直線l的斜率，由l的方程得關(guān)于k的方程，即可得k的值．

解答： 解：（1）直線l的方程變形為k（x-2y+4）+2x+8=0，
由于l過(guò)定點(diǎn)P，則當(dāng)k變化時(shí)，上式恒成立，所以

x-2y+4=0 2x+8=0

，
得

x=-4 y=0

，即定點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，0）．
（2）由點(diǎn)P（-4，0）在橢圓的左準(zhǔn)線x=-

a2

x

上知，-

a2

c

=-4，得a²=4c．…①
由MF₁垂直于x軸，可設(shè)M（-c，y₀），則

OM

=(-c，y0)，
易知，

AB

=(-a，b)，由

AB

與

OM

共線，得-bc=-ay₀，即y0=

bc

a

，從而M(-c，

bc

a

)，
又M在橢圓上，將M的坐標(biāo)代入橢圓方程中，得

(-c)2

a2

+

( bc a )2

b2

=1，化簡(jiǎn)得a²=2c²．…②
由①、②，得c=2，a²=8，從而b²=a²-c²=4．
故橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（3）由（2）知，直線MF₁的方程為x=-2，
由于Q點(diǎn)在直線MF₁上，可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，y₁），則

BQ

=(-2，y1-2)，
易知，

BP

=(-4，-2)，當(dāng)

BP

⊥

BQ

時(shí)，以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)B，
此時(shí)，

BP

•

BQ

=0，得（-4，-2）•（-2，y₁-2）=0，解得y₁=6，即Q（-2，6）．
由兩點(diǎn)的斜率公式，得直線PQ的斜率=

6-0

-2-(-4)

=3，
又由l的方程知，l的斜率=

k+2

2k

，
所以

k+2

2k

=3，解得k=

2

5

，
即當(dāng)k為

2

5

時(shí)，以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的方程，橢圓的方程，圓的性質(zhì)等，關(guān)鍵是將“以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)B”轉(zhuǎn)化為兩直線的垂直問(wèn)題．