Question

設函數f（x）=alnx-bx²，其圖象在點P（2，f（2））處切線的斜率為-3．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間（用只含有b的式子表示）；
（2）當a=2時，令g（x）=f（x）-kx，設x₁，x₂（x₁＜x₂）是函數g（x）=0的兩個根，x₀是x₁，x₂的等差中項，求證：g′（x₀）＜0（g′（x）為函數g（x）的導函數）．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由函數圖象在在點P（2，f（2））處切線的斜率為-3得到a與b的關系，用b表示a，代入導函數解析式，然后分b=0，b＜0，b＞0分類求解函數的單調區(qū)間；
（2）由a的值求解b的值，得到函數g（x）的解析式，把函數的兩個零點代入函數所對應的方程，求解得到k的值，求出g′（x₀），借助于等差中項的概念把x₀用x₁，x₂表示，換元后進一步利用導數研究函數的單調性，由單調性說明g′（x₀）＜0成立．

解答： （1）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞）．
f′(x)=

a

x

-2bx，則f′(2)=

a

2

-4b=-3，即a=8b-6．
于是f′(x)=

-2bx2+(8b-6)

x

．
①當b=0時，f′(x)=

-6

x

＜0，f（x）在（0，+∞）上是單調減函數；
②當b＜0時，令f'（x）=0，得x=

4b-3 b

（負舍），
∴f（x）在(0 ，  

4b-3 b

)上是單調減函數，在(

4b-3 b

 ，  +∞)上是單調增函數；
③當b＞0時，若0＜b≤

3

4

，則f'（x）＜0恒成立，f（x）在（0，+∞）上單調減函數；
若b＞

3

4

，令f'（x）=0，得x=

4b-3 b

（負舍），
∴f（x）在(0 ，  

4b-3 b

)上單調增函數，在(

4b-3 b

 ，  +∞)上單調減函數；
綜上，若b＜0，f（x）的單調減區(qū)間為(0 ，  

4b-3 b

)，單調增區(qū)間為(

4b-3 b

 ，  +∞)；
若0≤b≤

3

4

，f（x）的單調減區(qū)間為（0，+∞）；
若b＞

3

4

，f（x）的單調增區(qū)間為(0 ，  

4b-3 b

)，單調減區(qū)間為(

4b-3 b

 ，  +∞)．
（2）證明：∵a=2，a=8b-6，
∴b=1，即g（x）=2lnx-x²-kx．
∵g（x）的兩零點為x₁，x₂，則

2lnx1-x12-kx1=0  2lnx2-x22-kx2=0

，
相減得：2(lnx1-lnx2)-(x12-x22)-k(x1-x2)=0，
∵x₁≠x₂，
∴k=

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

-(x1+x2)，
于是g′(x0)=

2

x0

-2x0-k=

4

x1+x2

-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

=

2

x1-x2

[

2(x1-x2)

x1+x2

-(lnx1-lnx2)]=

2

x1-x2

[

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

-ln

x1

x2

]．
令t=

x1

x2

，t∈(0，  1)，φ(t)=

2(t-1)

t+1

-lnt=2-

4

t+1

-lnt，
則φ′(t)=

4

(t+1)2

-

1

t

=

-(t-1)2

t(t+1)2

＜0，則φ（t）在（0，1）上單調遞減，
則φ（t）＞φ（1）=0，
又

2

x1-x2

＜0，則g'（x₀）＜0．命題得證．

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數研究函數的單調性，考查了數學轉化思想方法，訓練了換元法，是難度較大的題目．