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【題目】已知橢圓C： 經過點，且離心率為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線： 與橢圓C交于兩個不同的點A，B，求面積的最大值（O為坐標原點）．

【答案】(1) ；(2) .

【解析】【試題分析】（1）將點坐標代入橢圓方程，結合橢圓離心率和，列方程組，求出的值.由此求得橢圓方程.（2）聯立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達定理和判別式.根據弦長公式和點到直線距離公式，求得面積的表達式，最后利用基本不等式求最大值.

【試題解析】

（1）由題意，知考慮到，解得

所以，所求橢圓C的方程為.

（2）設直線的方程為，代入橢圓方程，

整理得.

由，得. ①

設， ，則， .

于是

.

又原點O到直線AB： 的距離.

所以.

因為，當僅且當，即時取等號.

所以，即面積的最大值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知一工廠生產了某種產品700件，該工廠對這些產品進行了安全和環(huán)保這兩個性能的質量檢測。工廠決定利用隨機數表法從中抽取100件產品進行抽樣檢測，現將700件產品按001，002，…,700進行編號；

（1）如果從第8行第4列的數開始向右讀，請你依次寫出最先檢測的3件產品的編號；

（下面摘取了隨機數表的第7～9行）

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

（2）抽取的100件產品的安全性能和環(huán)保性能的質量檢測結果如下表：

檢測結果分為優(yōu)等、合格、不合格三個等級，橫向和縱向分別表示安全性能和環(huán)保性能。若在該樣本中，產品環(huán)保性能是優(yōu)等的概率為，求，的值。

件數

環(huán)保性能

優(yōu)等

合格

不合格

安全性能

優(yōu)等

6

20

5

合格

10

18

6

不合格

4

（3）已知，，求在安全性能不合格的產品中，環(huán)保性能為優(yōu)等的件數比不合格的件數少的概率。

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】函數，其中.

（1）求函數的單調區(qū)間；

（2）已知當（其中是自然對數）時，在上至少存在一點，使成立，求的取值范圍；

（3）求證：當時，對任意， ，有.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2017年“雙節(jié)”期間，高速公路車輛較多．某調查公司在一服務區(qū)從七座以下小型汽車中按進服務區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，將他們在某段高速公路的車速分成六段： ， ， ， ， ， 后得到如圖的頻率分布直方圖．

（1）調查公司在采樣中，用到的是什么抽樣方法？

（2）求這40輛小型車輛車速的眾數、中位數及平均數的估計值；

（3）若從車速在的車輛中任抽取2輛，求車速在的車輛至少有一輛的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線上一點的縱坐標為4，且點到焦點的距離為5.

（1）求拋物線的方程；

（2）設斜率為的兩條平行直線分別經過點和，如圖. 與拋物線交于兩點， 與拋 物線交兩點.問：是否存在實數，使得四邊形的面積為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知是不重合直線，是不重合平面，則下列命題

①若，則∥

②若∥∥，則∥

③若∥、∥，則∥

④若，則∥

⑤若，則∥

為假命題的是

A. ①②③ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ①②④

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數， .

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當時，判斷方程在區(qū)間上有無實根；

（3）若時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數 .

（Ⅰ）當時，求函數在區(qū)間上的最大值與最小值；

（Ⅱ）當的圖像經過點時，求的值及函數的最小正周期.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知在平面直角坐標系中，直線l過點P（1，2）．

（1）若直線l在x軸和y軸上的截距相等，求直線l的方程；

（2）求坐標原點O到直線l距離取最大值時的直線l的方程；

（3）設直線l與x軸正半軸、y軸正半軸分別相交于A，B兩點，當|PA||PB|最小時，求直線l的方程．

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