Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）=

x2+2，x∈[0，1) 2-x2，x∈[-1，0)

且f（x+2）=f（x），g（x）=

2x+5

x+2

，則方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-5，1]上的所有實(shí)根之和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：化簡g（x）的表達(dá)式，得到g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2，1）對稱，由f（x）的周期性，畫出f（x），g（x）的圖象，通過圖象觀察[-5，1]上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的特點(diǎn)，求出它們的和．

解答： 解：由題意知g(x)=

2x+5

x+2

=

2(x+2)+1

x+2

=2+

1

x+2

，函數(shù)f（x）的周期為2，則函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間[-5，1]上的圖象如下圖所示：
由圖形可知函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間[-5，1]上的交點(diǎn)為A，B，C，易知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-3，若設(shè)C的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜1），則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4-t，所以方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-5，1]上的所有實(shí)數(shù)根之和為-3+（-4-t）+t=-7．
故答案為：-7．

點(diǎn)評：本題考查分段函數(shù)的圖象和運(yùn)用，考查函數(shù)的周期性、對稱性和應(yīng)用，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．