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18.已知函數(shù)f(x)=4x3x2+3,g(x)=13ax3-a2x.
(1)設(shè)a≠0,若對任意x1∈[0,2],總存在x0∈[0,2],使f(x1)=g(x0),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)點(diǎn)A(x1,y1).B(x2,y2)為函數(shù)f(x)圖象上不同的兩點(diǎn),求證:直線AB的斜率小于2.

分析 (1)求出f(x)在[0,2]上的值域,在求導(dǎo)g'(x),從而確定函數(shù)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題;
(2)直線AB的斜率轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f'(x)的最值問題即可;

解答 解:(1)對f(x)求導(dǎo):f'(x)=12x2+123x2+32,令f'(x)=0,即導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)為x=1或-1;
故f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,(-1,1)上單調(diào)遞增,(1,+∞)上單調(diào)遞減;
f(0)=0,f(2)=815,f(1)=23
f(x)在[0,2]上的取值范圍為:[0,23]
對g(x)求導(dǎo):g'(x)=ax2-a2=a(x2-a),a>0時,計算得出x=a
當(dāng)0<a<4時,g'(x)>0,∴ax2;g'(x)<0,∴0xa
∴g(x)在[0,a]上單調(diào)遞減,在(a,2]上單調(diào)遞增,
顯然g(a)<g(0)=0
根據(jù)題意可知,g(2)23,即3a2-4a+1≤0,
13a1
當(dāng)a≥4時,g'(x)≤0,所以g(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,g(x)≤g(0),不合題意;
當(dāng)a≤0時,x∈[0,2],g(x)=13ax3a2x0,不滿足y=g(x)的值域包含[0,23];
綜上:13a1
(2)對f(x)求導(dǎo):f'(x)=12x2+123x2+32,令f'(x)=0,即導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)為x=1或-1;
故f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,(-1,1)上單調(diào)遞增,(1,+∞)上單調(diào)遞減;
令y=f'(x),則有y=129×x21x2+12,
令t=x2+1≥1,則y=-43(t-2t2),因為t與-2t2在t>1都是增函數(shù),所以y在t>1上是減函數(shù);
ymax=y1=43,此時t=1⇒x=0;
也即是當(dāng)x=0時,y=f'(x)取得最大值,同時f(0)=0;
當(dāng)A為原點(diǎn)坐標(biāo)(0,0),B點(diǎn)坐標(biāo)無限趨向于A點(diǎn)坐標(biāo),則此時曲線f(x)上兩點(diǎn)的最大斜率趨向于43<2.
故得證.

點(diǎn)評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與最值問題,以及函數(shù)求最值方法與轉(zhuǎn)化思想,屬中等題.

練習(xí)冊系列答案
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8.設(shè)全集為U,定義集合M與N的運(yùn)算:M*N={x|x∈M∪N且x∉M∩N},則N*(N*M)=(  )
A.MB.NC.M∩∁UND.N∩∁UM

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(2)設(shè)bn=2an-15,求數(shù)列{|bn|}的前n項和Tn

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6.設(shè)實數(shù)x,y滿足約束條件{y12xy3xyx+1目標(biāo)函數(shù)z=ax+y取最大值有無窮多個最優(yōu)解,則實數(shù)a的取值為-3或1.

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13.命題“?x0∈R,2x0-3>1”的否定是( �。�
A.?x0∈R,2x0-3≤1B.?x∈R,2x-3>1C.?x∈R,2x-3≤1D.?x0∈R,2x0-3>1

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5.設(shè)函數(shù)fx={x5x6fx+2x6,則f(2)=1.

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12.給出如下四個判斷:
①若“p或q”為假命題,則p、q中至多有一個為假命題;
②命題“若a>b,則log2a>log2b”的否命題為“若a≤b,則log2a≤log2b”;
③對命題“?x∈R,x2+1≥1”的否定是“?x∈R,x2+1≤1”;
④在△ABC中,“sinA>32”是“∠A>\frac{π}{3}”的充分不必要條件.
其中不正確的判斷的個數(shù)是( �。�
A.3B.2C.1D.0

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9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.(t為參數(shù)). 在以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中,曲線C的方程為ρ sinθtanθ=2a (a>0).
(1)求出直線l和曲線C的普通方程;
(2)若點(diǎn)P坐標(biāo)(3,-\sqrt{5}),曲線C與直線l交于A,B兩點(diǎn),若|PA|=|PB|,求實數(shù)a值.

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10.直線y=-x+3的傾斜角是( �。�
A.\frac{3π}{4}B.-\frac{π}{4}C.\frac{π}{4}D.\frac{2π}{3}

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