分析 (1)求出f(x)在[0,2]上的值域,在求導(dǎo)g'(x),從而確定函數(shù)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題;
(2)直線AB的斜率轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f'(x)的最值問題即可;
解答 解:(1)對f(x)求導(dǎo):f'(x)=−12x2+12(3x2+3)2,令f'(x)=0,即導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)為x=1或-1;
故f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,(-1,1)上單調(diào)遞增,(1,+∞)上單調(diào)遞減;
f(0)=0,f(2)=815,f(1)=23
f(x)在[0,2]上的取值范圍為:[0,23]
對g(x)求導(dǎo):g'(x)=ax2-a2=a(x2-a),a>0時,計算得出x=√a.
當(dāng)0<a<4時,g'(x)>0,∴√a<x≤2;g'(x)<0,∴0≤x<√a
∴g(x)在[0,√a]上單調(diào)遞減,在(√a,2]上單調(diào)遞增,
顯然g(√a)<g(0)=0
根據(jù)題意可知,g(2)≥23,即3a2-4a+1≤0,
∴13≤a≤1
當(dāng)a≥4時,g'(x)≤0,所以g(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,g(x)≤g(0),不合題意;
當(dāng)a≤0時,x∈[0,2],g(x)=13ax3−a2x≤0,不滿足y=g(x)的值域包含[0,23];
綜上:13≤a≤1
(2)對f(x)求導(dǎo):f'(x)=−12x2+12(3x2+3)2,令f'(x)=0,即導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)為x=1或-1;
故f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,(-1,1)上單調(diào)遞增,(1,+∞)上單調(diào)遞減;
令y=f'(x),則有y=−129×x2−1(x2+1)2,
令t=x2+1≥1,則y=-43(t-2t2),因為t與-2t2在t>1都是增函數(shù),所以y在t>1上是減函數(shù);
故ymax=y(1)=43,此時t=1⇒x=0;
也即是當(dāng)x=0時,y=f'(x)取得最大值,同時f(0)=0;
當(dāng)A為原點(diǎn)坐標(biāo)(0,0),B點(diǎn)坐標(biāo)無限趨向于A點(diǎn)坐標(biāo),則此時曲線f(x)上兩點(diǎn)的最大斜率趨向于43<2.
故得證.
點(diǎn)評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與最值問題,以及函數(shù)求最值方法與轉(zhuǎn)化思想,屬中等題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | M | B. | N | C. | M∩∁UN | D. | N∩∁UM |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | ?x0∈R,2x0-3≤1 | B. | ?x∈R,2x-3>1 | C. | ?x∈R,2x-3≤1 | D. | ?x0∈R,2x0-3>1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 3 | B. | 2 | C. | 1 | D. | 0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{3π}{4} | B. | -\frac{π}{4} | C. | \frac{π}{4} | D. | \frac{2π}{3} |
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