12.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{-{x}^{2}+4x-3},1≤x≤3}\\{{2}^{x}-8,x>3}\end{array}\right.$,若F(x)=f(x)-kx在其定義域內(nèi)有3個零點,則實數(shù)k∈(0,$\frac{\sqrt{3}}{3}$).

分析 問題轉(zhuǎn)化為f(x)和y=kx有3個交點,畫出函數(shù)f(x)和y=kx的圖象,求出臨界值,從而求出k的范圍即可.

解答 解:若F(x)=f(x)-kx在其定義域內(nèi)有3個零點,
即f(x)和y=kx有3個交點,
畫出函數(shù)f(x)和y=kx的圖象,如圖示:

點(2,0)到直線y=kx的距離d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=1,
解得:k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
故:0<k<$\frac{\sqrt{3}}{3}$;
故答案為:(0,$\frac{\sqrt{3}}{3}$).

點評 本題考查了函數(shù)的零點問題,考查數(shù)形結(jié)合思想以及點到直線的距離,是一道中檔題.

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