Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}，1≤x≤3}\\{{2}^{x}-8，x＞3}\end{array}\right.$，若F（x）=f（x）-kx在其定義域內(nèi)有3個零點，則實數(shù)k∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為f（x）和y=kx有3個交點，畫出函數(shù)f（x）和y=kx的圖象，求出臨界值，從而求出k的范圍即可．

解答 解：若F（x）=f（x）-kx在其定義域內(nèi)有3個零點，
即f（x）和y=kx有3個交點，
畫出函數(shù)f（x）和y=kx的圖象，如圖示：
，
點（2，0）到直線y=kx的距離d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=1，
解得：k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故：0＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
故答案為：（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

點評 本題考查了函數(shù)的零點問題，考查數(shù)形結(jié)合思想以及點到直線的距離，是一道中檔題．