Question

17．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），兩條漸近線的夾角為60°，直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若l過(guò)原點(diǎn)，P為雙曲線上異于A，B的一點(diǎn)，且直線PA、PB的斜率k_PA，k_PB均存在，求證：k_PA•k_PB為定值；
（3）若l過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F₁，是否存在x軸上的點(diǎn)M（m，0），使得直線l繞點(diǎn)F₁無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0成立？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），兩條漸近線的夾角為60°，建立方程，即可求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)M（x₀，y₀），由雙曲線的對(duì)稱性，可得N的坐標(biāo)，設(shè)P（x，y），結(jié)合題意，又由M、P在雙曲線上，可得y₀²=3x₀²-3，y²=3x²-3，將其坐標(biāo)代入k_PM•k_PN中，計(jì)算可得答案．
（3）先假設(shè)存在定點(diǎn)M，使MA⊥MB恒成立，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量級(jí)為0，求得結(jié)論．

解答 （1）解：由題意得 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{9}{^{2}}=1}\\{\frac{a}=\sqrt{3}}\end{array}\right.$                …（2分）
解得a=1，b=$\sqrt{3}$                             …（3分）
∴雙曲線C的方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$；              …（4分）
（2）證明：設(shè)A（x₀，y₀），由雙曲線的對(duì)稱性，可得B（-x₀，-y₀）．
設(shè)P（x，y），…（5分）
則k_PA•k_PB=$\frac{{y}^{2}-{{y}_{0}}^{2}}{{x}^{2}-{{x}_{0}}^{\;}}$，
∵y₀²=3x₀²-3，y²=3x²-3，…（8分）
所以k_PA•k_PB=$\frac{{y}^{2}-{{y}_{0}}^{2}}{{x}^{2}-{{x}_{0}}^{\;}}$=3                              …（10分）
（3）解：由（1）得點(diǎn)F₁為（2，0）
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
將方程y=k（x-2）與雙曲線方程聯(lián)立消去y得：（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}+3}{{k}^{2}-3}$
假設(shè)雙曲線C上存在定點(diǎn)M，使MA⊥MB恒成立，設(shè)為M（m，n）
則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁-m）（x₂-m）+[k（x₁-2）-n][k（x₂-2）-n]
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+kn+m）（x₁+x₂）+m²+4k²+4kn+n²=$\frac{（{m}^{2}+{n}^{2}-4m-5）{k}^{2}-12nk-3（{m}^{2}+{n}^{2}-1）}{{k}^{2}-3}$=0，
故得：（m²+n²-4m-5）k²-12nk-3（m²+n²-1）=0對(duì)任意的k²＞3恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}-4m-5=0}\\{12n=0}\\{{m}^{2}+{n}^{2}-1=0}\end{array}\right.$，解得m=-1，n=0
∴當(dāng)點(diǎn)M為（-1，0）時(shí)，MA⊥MB恒成立；
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由A（2，3），B（2，-3）知點(diǎn)M（-1，0）使得MA⊥MB也成立．
又因?yàn)辄c(diǎn)（-1，0）是雙曲線C的左頂點(diǎn)，
所以雙曲線C上存在定點(diǎn)M（-1，0），使MA⊥MB恒成立．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查斜率的計(jì)算，考查存在性問(wèn)題，綜合性強(qiáng)．