17.已知雙曲線C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3),兩條漸近線的夾角為60°,直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若l過(guò)原點(diǎn),P為雙曲線上異于A,B的一點(diǎn),且直線PA、PB的斜率kPA,kPB均存在,求證:kPA•kPB為定值;
(3)若l過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F1,是否存在x軸上的點(diǎn)M(m,0),使得直線l繞點(diǎn)F1無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),都有$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0成立?若存在,求出M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)利用雙曲線C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3),兩條漸近線的夾角為60°,建立方程,即可求雙曲線C的方程;
(2)設(shè)M(x0,y0),由雙曲線的對(duì)稱性,可得N的坐標(biāo),設(shè)P(x,y),結(jié)合題意,又由M、P在雙曲線上,可得y02=3x02-3,y2=3x2-3,將其坐標(biāo)代入kPM•kPN中,計(jì)算可得答案.
(3)先假設(shè)存在定點(diǎn)M,使MA⊥MB恒成立,設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)數(shù)量級(jí)為0,求得結(jié)論.

解答 (1)解:由題意得 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{9}{^{2}}=1}\\{\frac{a}=\sqrt{3}}\end{array}\right.$                …(2分)
解得a=1,b=$\sqrt{3}$                             …(3分)
∴雙曲線C的方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$;              …(4分)
(2)證明:設(shè)A(x0,y0),由雙曲線的對(duì)稱性,可得B(-x0,-y0).
設(shè)P(x,y),…(5分)
則kPA•kPB=$\frac{{y}^{2}-{{y}_{0}}^{2}}{{x}^{2}-{{x}_{0}}^{\;}}$,
∵y02=3x02-3,y2=3x2-3,…(8分)
所以kPA•kPB=$\frac{{y}^{2}-{{y}_{0}}^{2}}{{x}^{2}-{{x}_{0}}^{\;}}$=3                              …(10分)
(3)解:由(1)得點(diǎn)F1為(2,0)
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2
將方程y=k(x-2)與雙曲線方程聯(lián)立消去y得:(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,
∴x1+x2=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$,x1x2=$\frac{4{k}^{2}+3}{{k}^{2}-3}$
假設(shè)雙曲線C上存在定點(diǎn)M,使MA⊥MB恒成立,設(shè)為M(m,n)
則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=(x1-m)(x2-m)+[k(x1-2)-n][k(x2-2)-n]
=(k2+1)x1x2-(2k2+kn+m)(x1+x2)+m2+4k2+4kn+n2=$\frac{({m}^{2}+{n}^{2}-4m-5){k}^{2}-12nk-3({m}^{2}+{n}^{2}-1)}{{k}^{2}-3}$=0,
故得:(m2+n2-4m-5)k2-12nk-3(m2+n2-1)=0對(duì)任意的k2>3恒成立,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}-4m-5=0}\\{12n=0}\\{{m}^{2}+{n}^{2}-1=0}\end{array}\right.$,解得m=-1,n=0
∴當(dāng)點(diǎn)M為(-1,0)時(shí),MA⊥MB恒成立;
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),由A(2,3),B(2,-3)知點(diǎn)M(-1,0)使得MA⊥MB也成立.
又因?yàn)辄c(diǎn)(-1,0)是雙曲線C的左頂點(diǎn),
所以雙曲線C上存在定點(diǎn)M(-1,0),使MA⊥MB恒成立.…(16分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法,考查斜率的計(jì)算,考查存在性問(wèn)題,綜合性強(qiáng).

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