Question

已知拋物線：y²=4x，
（1）直線l：y=kx+1與拋物線有且僅有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）定點(diǎn)A（2，0），P為拋物線上任意一點(diǎn)，求線段長|PA|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）聯(lián)立

y=kx+1 y2=4x

，k²x²+（2k-4）x+1=0，對k分類討論：當(dāng)k=0；當(dāng)k≠0時，由△=0即可得出．
（2）設(shè)P（x，y），則|PA|=

(x-2)2+y2

=

(x-2)2+4x

=

x2+4

(x≥0)，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）聯(lián)立

y=kx+1 y2=4x

，k²x²+（2k-4）x+1=0，
當(dāng)k=0時，交點(diǎn)為(

1

4

，1)，滿足題意；
當(dāng)k≠0時，由△=0得k=1，綜上，k=0或1．
（2）設(shè)P（x，y），則|PA|=

(x-2)2+y2

=

(x-2)2+4x

=

x2+4

(x≥0)，
故當(dāng)x=0時，|PA|_min=2．

點(diǎn)評：本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．