Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2ln（x+1）+ ﹣（m+1）x有且只有一個(gè)極值． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），求證：x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）定義域?yàn)椋ī?，+∞），
即求f'（x）=0在區(qū)間（﹣1，+∞）上只有一個(gè)解，
①當(dāng)m≠0時(shí)，由f'（x）=0得x=1或 ，
則 ，m＜0
②當(dāng)m=0時(shí)， ．得x=1符合題意，
綜上：當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）有且只有一個(gè)極值
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：m≤0，x=1時(shí)f（x）有且只有一個(gè)極大值．
又f（x1）=f（x2）（x1≠x2），不妨設(shè)﹣1＜x1＜1＜x2
令g（x）=f（2﹣x）﹣f（x）（﹣1＜x＜1）
則g（x）=2ln（3﹣x）﹣2ln（x+1）+2x﹣2（m+1）
所以g（x）在（﹣1，1）上為減函數(shù)，故g（x）＞g（1）=0
即當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，f（2﹣x）＞f（x）．
所以f（2﹣x1）＞f（x1）=f（x2），即f（2﹣x1）＞f（x2）
由（Ⅰ）知，f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，且2﹣x1＞1，x2＞1，
所以2﹣x1＜x2 ， 故x1+x2＞2
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，根據(jù)函數(shù)有且只有一個(gè)極值，求出m的范圍即可；（Ⅱ）不妨設(shè)﹣1＜x1＜1＜x2 ， 令g（x）=f（2﹣x）﹣f（x）（﹣1＜x＜1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案．