【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點(diǎn),E為線段PC上一點(diǎn).
(1)求證:PA⊥BD;
(2)求證:平面BDE⊥平面PAC;
(3)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí),求三棱錐E﹣BCD的體積.
【答案】
(1)
解:證明:由PA⊥AB,PA⊥BC,
AB平面ABC,BC平面ABC,且AB∩BC=B,
可得PA⊥平面ABC,
由BD平面ABC,
可得PA⊥BD;
(2)
解:證明:由AB=BC,D為線段AC的中點(diǎn),
可得BD⊥AC,
由PA⊥平面ABC,PA平面PAC,
可得平面PAC⊥平面ABC,
又平面ABC∩平面ABC=AC,
BD平面ABC,且BD⊥AC,
即有BD⊥平面PAC,
BD平面BDE,
可得平面BDE⊥平面PAC;
(3)
解:PA∥平面BDE,PA平面PAC,
且平面PAC∩平面BDE=DE,
可得PA∥DE,
又D為AC的中點(diǎn),
可得E為PC的中點(diǎn),且DE= PA=1,
由PA⊥平面ABC,
可得DE⊥平面ABC,
可得S△BDC= S△ABC= × ×2×2=1,
則三棱錐E﹣BCD的體積為 DES△BDC= ×1×1= .
【解析】(1.)運(yùn)用線面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC,再由性質(zhì)定理即可得證;
(2.)要證平面BDE⊥平面PAC,可證BD⊥平面PAC,由(1)運(yùn)用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC,再由等腰三角形的性質(zhì)可得BD⊥AC,運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理,即可得證;
(3.)由線面平行的性質(zhì)定理可得PA∥DE,運(yùn)用中位線定理,可得DE的長,以及DE⊥平面ABC,求得三角形BCD的面積,運(yùn)用三棱錐的體積公式計(jì)算即可得到所求值.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面垂直的判定和直線與平面垂直的性質(zhì),掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想;垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,圓O的兩弦AB和CD交于點(diǎn)E,作EF∥CB,并且交AD的延長線于點(diǎn)F,F(xiàn)G切圓O于點(diǎn)G.
(1)求證:△DEF∽△EFA;
(2)如果FG=1,求EF的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓 + =1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,離心率為 .已知A是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為 .
(Ⅰ)求橢圓的方程和拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)l上兩點(diǎn)P,Q關(guān)于x軸對稱,直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B(B異于A),直線BQ與x軸相交于點(diǎn)D.若△APD的面積為 ,求直線AP的方程.
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【題目】四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為菱形,且∠BAD=60°,A1A=AB,E為BB1延長線上的一點(diǎn),D1E⊥平面D1AC.
(1)求二面角E-AC-D1的大小;
(2)在D1E上是否存在一點(diǎn)P,使A1P∥平面EAC?若存在,求D1P∶PE的值;不存在,說明理由.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中點(diǎn).
求證:CD⊥平面PAE.
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【題目】在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC1和BD1相交于點(diǎn)O,則有( )
A. =2a2 B. a2
C. a2 D. =a2
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【題目】如圖,F,H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1,AA1的中點(diǎn),棱長為,
(1)求證:平面BDF∥平面B1D1H.
(2)求正方體外接球的表面積。
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【題目】已知,,是不共面的三個(gè)向量,則能構(gòu)成一個(gè)基底的一組向量是( 。
A. 2,﹣,+2 B. 2,﹣,+2
C. ,2,﹣ D. ,+,﹣
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD為正方形,PD=DC=2,E,F,G分別是AB,PB,CD的中點(diǎn).
(1)求證:EF⊥DC;
(2)求證:GF∥平面PAD;
(3)求點(diǎn)G到平面PAB的距離.
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