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14.若?x∈D,總有f(x)<F(x)<g(x),則稱F(x)為f(x)與g(x)在D上的一個“嚴(yán)格分界函數(shù)”.
(1)求證:y=ex是y=1+x和y=1+x+x22在(-1,0)上的一個“嚴(yán)格分界函數(shù)”;
(2)函數(shù)h(x)=2ex+11+x-2,若存在最大整數(shù)M使得h(x)>M10在X∈(-1,0)恒成立,求M的值.(e=2.718…是自然對數(shù)的底數(shù),2≈1.414,213≈1.260)

分析 (1)令φ(x)=ex-1-x,利用導(dǎo)數(shù)可得φ(x)在區(qū)間(-1,0)上為減函數(shù),得到φ(x)>φ(0)=0,即ex>y=1+x;令t(x)=ex-1-x-x22,由對數(shù)可得t(x)在區(qū)間(-1,0)上為增函數(shù),則t(x)<t(0)=0,得ex<1+x+x22,由此可得y=ex是y=1+x和y=1+x+x22在(-1,0)上的一個“嚴(yán)格分界函數(shù)”;
(2)由(1)知h(x)=2ex+11+x-221+x+11+x2222≈0.828.h(x)=2ex+11+x-2<2(1+x+x22)+11+x2=x2+2x+11+x,令m(x)=x2+2x+11+x=x+12+11+x1,求導(dǎo)可得m(x)的最小值,再由導(dǎo)數(shù)求得h(x)在x∈(-1,0)上先減后增,可得h(x)最小值的范圍,由0.828<h(x)min<0.890及h(x)>M10在x∈(-1,0)恒成立可得M的值.

解答 解:(1)證明:令φ(x)=ex-1-x,φ'(x)=ex-1.
當(dāng)x<0時,φ'(x)<0,故φ(x)在區(qū)間(-1,0)上為減函數(shù),
因此φ(x)>φ(0)=0,故ex>y=1+x;
再令t(x)=ex-1-x-x22,當(dāng)x<0時,t′(x)=ex-1-x>0,
故t(x)在區(qū)間(-1,0)上為增函數(shù),則t(x)<t(0)=0,
∴ex<1+x+x22,故y=ex是y=1+x和y=1+x+x22在(-1,0)上的一個“嚴(yán)格分界函數(shù)”;
(2)由(1)知h(x)=2ex+11+x-221+x+11+x2222≈0.828.
又h(x)=2ex+11+x-2<2(1+x+x22)+11+x2=x2+2x+11+x
令m(x)=x2+2x+11+x=x+12+11+x1,m′(x)=2(x+1)11+x2,
由m′(x)=0,解得x0=1+1213,可得m(x)在11+1213單調(diào)遞減,在1+12130單調(diào)遞增,
{(m(x))_{min}}=m(-1+{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}})={(\frac{1}{2})^{\frac{2}{3}}}+{2^{\frac{1}{3}}}-1=\frac{{3\root{3}{2}}}{2}-1≈0.890
{h^'}(x)=2{e^x}-\frac{1}{{{{(1+x)}^2}}},在x∈(-1,0)上存在x0使得h′(x0)=0,
故h(x)在x∈(-1,0)上先減后增,
則有hxminh1+1213m1+12130.890,
則0.828<h(x)min<0.890,
hxminM10,則M=8.

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)加以函數(shù)的單調(diào)性,考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力,難度較大.

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