Question

(本題滿分12分)
已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m（m≠0），交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)。
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

Answer 1

（1）；（2）；
（3）直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形。

解析試題分析：（1）先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意聯(lián)立方程組，求得a和b，橢圓的方程可得．
（2）由點(diǎn)斜式設(shè)出直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0求得k的范圍．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由根據(jù)韋達(dá)定理，分別求得x₁+x₂和x₁x₂進(jìn)而表示出k₁和k₂，進(jìn)而可求得k₁+k₂．從而確定三角形為等腰三角形。
解：（1）設(shè)橢圓方程為
則        ∴橢圓方程為
（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m ； 又K_OM=

由
∵直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，   

（3）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可
設(shè)  則
由可得  
而


故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形。
考點(diǎn)：本試題主要考查了橢圓的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于解析幾何問題關(guān)鍵是要設(shè)出直線方程并能利用設(shè)而不求的思想和韋達(dá)定理得到要求解的關(guān)系式，使我們必須要用到的重要的思想方法。