Question

（2011•重慶三模）一個(gè)邊長(zhǎng)為2b的正△ABC內(nèi)接于橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，b），且高在y軸上，則橢圓的離心率為

3

-1

．

Answer 1

分析：根據(jù)題中的條件可得：B（-b，b-

3

b），C（b，b-

3

b），再結(jié)合點(diǎn)B在橢圓上得到

b2

a2

=2

3

-3，進(jìn)而利用a，b，c之間的關(guān)系得到答案．

解答：解：如圖所示：

因?yàn)檫呴L(zhǎng)為2b的正三角形ABC的頂點(diǎn)A是（0，b），并且且高在y軸上，
所以B（-b，b-

3

b），C（b，b-

3

b），
因?yàn)辄c(diǎn)B在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，所以有

b2

a2

+

(1- 3 )2b2

b2

=1(a＞b＞0)，
解得：

b2

a2

=2

3

-3，
由b²+c²=a²可得：c2=(4-2

3

)a2，
所以e2=(

3

-1)2，所以e=

3

-1．
故答案為：

3

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力與分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，此題屬于基礎(chǔ)題．