Question

（本小題滿分14分）若函數(shù)在區(qū)間 [a，b]上的最小值為2a，最大值為2b，求[a，b].

Answer 1

或

【解析】

試題分析：（1）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)，不論哪種類型，解題的關(guān)鍵是對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論；（2）二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個(gè)”二次，它們常結(jié)合在一起，有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法，一般從：①開口方向；②對(duì)稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)值符合四個(gè)方面分析；（3）二次函數(shù)的綜合問題應(yīng)用多涉及單調(diào)性與最值或二次方程根的分布問題，解決的主要思路是等價(jià)轉(zhuǎn)化，多用到數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想,

試題解析：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. （1分）

（1）當(dāng)時(shí)，假設(shè)有， （2分）

則在上有兩個(gè)不等的實(shí)根a，b. （4分）

由得，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015070406055138606735/SYS201507040605546830280929_DA/SYS201507040605546830280929_DA.010.png">，所以，故假設(shè)不成立. （5分）

（2）當(dāng)時(shí)，假設(shè)有，即. （6分）

當(dāng)時(shí)，，得不符合； （7分）

當(dāng)時(shí)，， （8分）

解得或（舍去）. （9分）

（3）當(dāng)時(shí)，假設(shè)有，即 （11分）

解得. （13分）

綜上所述所求區(qū)間為或 （14分）

考點(diǎn)：一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.