Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an﹣1（n∈N+），a1=2．
（1）求證：數(shù)列{an﹣1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求數(shù)列{nan}的前n項和Sn（n∈N+）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an+1=2an﹣1（n∈N+），

∴an+1﹣1=2（an﹣1）（n∈N+），

又∵a1﹣1=2﹣1=1，

∴數(shù)列{an﹣1}是首項為1、公比為2的等比數(shù)列，

∴an﹣1=12n﹣1=2n﹣1，

∴an=2n﹣1+1；

（2）解：∵an=2n﹣1+1，

∴nan=n2n﹣1+n，

設(shè)Tn=120+221+322+…+n2n﹣1，

∴2Tn=121+222+323+…+（n﹣1）2n﹣1+n2n，

兩式相減得：﹣Tn=（1+21+22+23+…+2n﹣1）﹣n2n

= ﹣n2n

=（1﹣n）2n﹣1，

∴Tn=（n﹣1）2n+1，

∴Sn=Tn+ =（n﹣1）2n+1+

【解析】（1）通過對an+1=2an﹣1（n∈N+）變形可知數(shù)列{an﹣1}是首項為1、公比為2的等比數(shù)列，進而可得結(jié)論；（2）通過an=2n﹣1+1可知nan=n2n﹣1+n，利用錯位相減法計算即得結(jié)論．
【考點精析】關(guān)于本題考查的等比數(shù)列的通項公式（及其變式）和數(shù)列的前n項和，需要了解通項公式：；數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系才能得出正確答案．