【題目】如圖，在以、、、、、為頂點(diǎn)的五面體中，平面平面，，四邊形為平行四邊形，且.

（1）求證：；

（2）若，，直線與平面所成角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析;（2）.

【解析】試題分析：

（1）過作交于，連接，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，則.則，，為等腰直角三角形，據(jù)此可得平面，.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)可得平面的法向量為，平面的法向量為，則銳二面角的余弦值為 .

試題解析：

（1）過作交于，連接，由平面平面，得平面，因此.

∴，，，

∴，∴，

由已知得為等腰直角三角形，因此，又，

∴平面，∴.

（2）∵，平面，平面，∴平面，

∵平面平面，∴，

由（1）可得，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)可得，進(jìn)而可得，，，，，，

設(shè)平面的法向量為，則，即，

可取，

設(shè)平面的法向量為，則，即，

可取，

則 ，

∴二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校的特長(zhǎng)班有名學(xué)生，其中有體育生名，藝術(shù)生名，在學(xué)校組織的一次體檢中，該班所有學(xué)生進(jìn)行了心率測(cè)試，心率全部介于次/分到次/分之間.現(xiàn)將數(shù)據(jù)分成五組，第一組，第二組，…，第五章，按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前三組的頻率之比為.

（1）求的值，并求這名同學(xué)心率的平均值；

（2）因?yàn)閷W(xué)習(xí)專業(yè)的原因，體育生常年進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉，藝術(shù)生則很少進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉，若從第一組和第二組的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，該學(xué)生是體育生的概率為，請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為心率小于次/分與常年進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉有關(guān)？說明你的理由.

心率小于60次/分

心率不小于60次/分

合計(jì)

體育生

20

藝術(shù)生

30

合計(jì)

50

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式：，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應(yīng)運(yùn)而生.某市場(chǎng)研究人員為了了解共享單車運(yùn)營(yíng)公司的經(jīng)營(yíng)狀況，對(duì)該公司最近六個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了相應(yīng)的拆線圖.

（1）由拆線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月度市場(chǎng)占有率與月份代碼之間的關(guān)系．求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)公司2017年4月份（即時(shí)）的市場(chǎng)占有率；

（2）為進(jìn)一步擴(kuò)大市場(chǎng)，公司擬再采購(gòu)一批單車.現(xiàn)有采購(gòu)成本分別為1000元/輛和1200元/輛的兩款車型可供選擇，按規(guī)定每輛單車最多使用4年，但由于多種原因（如騎行頻率等）會(huì)導(dǎo)致車輛報(bào)廢年限各不相同.考慮到公司運(yùn)營(yíng)的經(jīng)濟(jì)效益，該公司決定先對(duì)兩款車型的單車各100輛進(jìn)行科學(xué)模擬測(cè)試，得到兩款單車使用壽命頻數(shù)表如下：

車型 報(bào)廢年限

1年

2年

3年

4年

總計(jì)

20

35

35

10

100

10

30

40

20

100

經(jīng)測(cè)算，平均每輛單車每年可以帶來收入500元.不考慮除采購(gòu)成本之外的其他成本，假設(shè)每輛單車的使用壽命都是整年，且以頻率作為每輛單車使用壽命的概率.如果你是 公司的負(fù)責(zé)人，以每輛單車產(chǎn)生利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，你會(huì)選擇采購(gòu)哪款車型？

（參考公式：回歸直線方程為，其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，圓與圓外切于原點(diǎn)，且兩圓圓心的距離，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求圓和圓的極坐標(biāo)方程；

（2）過點(diǎn)的直線與圓異于點(diǎn)的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，與圓異于點(diǎn)的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校為了推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)方法的改革，學(xué)校將高一年級(jí)部分生源情況基本相同的學(xué)生分成甲、乙兩個(gè)班，每班各40人，甲班按原有模式教學(xué)，乙班實(shí)施教學(xué)方法改革.經(jīng)過一年的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，將甲、乙兩個(gè)班學(xué)生一年來的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)∑骄鶖?shù)再取整，繪制成如下莖葉圖，規(guī)定不低于85分(百分制)為優(yōu)秀，甲班同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為74.

(1)求的值和乙班同學(xué)成績(jī)的眾數(shù)；

(2)完成表格，若有以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”的話，那么學(xué)校將擴(kuò)大教學(xué)改革面，請(qǐng)問學(xué)校是否要擴(kuò)大改革面？說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓：，過且與圓相切的動(dòng)圓圓心為.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，且，垂足為（，，，為不同的四個(gè)點(diǎn)）.

①設(shè)，證明：；

②求四邊形的面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；若存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（）的左焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)、，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，已知側(cè)面，，，，點(diǎn)在棱上.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）試確定點(diǎn)的位置，使得二面角的余弦值為．

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同步練習(xí)冊(cè)答案