Question

小樂星期六下午從文具超市買了一套立體幾何學(xué)具，他發(fā)現(xiàn)學(xué)具袋里有三組長度相等的塑料棒，長度分別為1，

2

，2，而且每組恰有三根，于是想利用它們拼出正三棱錐．設(shè)拼出的正三棱錐的側(cè)棱長為l，底面正三角形的邊長為s．
（1）若小樂選取l=1，s=

2

，現(xiàn)從該正三棱錐的六條棱中隨機選取兩條，求這兩條棱互相垂直的概率；
（2）若小樂隨機地選取l，s，可以拼出m個不同的正三棱錐．設(shè)從每個正三棱錐的六條棱中隨機選取兩條，這兩條棱互相垂直的概率為X，請分別寫出其相應(yīng)的X的值（不用寫出求解X的計算過程）．小樂再從拼出的m個正三棱錐中任選兩個，求他所選的兩個正三棱錐的X值相同的概率．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用列舉法確定從該正三棱錐的六條棱中隨機選取兩條的選法，兩條棱互相垂直的選法，利用古典概型的概率公式，可得結(jié)論；
（2）確定可以拼出5個正三棱錐，可得從中任選兩個，共有10種選法，所選的兩個正三棱錐的X值相同共有4種選法，即可求出他所選的兩個正三棱錐的X值相同的概率．

解答： 解：（1）如圖，設(shè)小樂所拼的正三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱分別記為a，b，c，底面正三角形ABC的三邊分別記為d，e，f，
從該正三棱錐的六條棱中隨機選取兩條，共有15種選法，分別為：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f）（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）…（3分）
因為l=1，s=

2

，由勾股定理可知∠APB=∠APC=∠BPC=90°，
又正三棱錐的對棱互相垂直，所以其中兩條棱互相垂直的選法共有6種，分別為：（a，b），（b，c），（a，c），（a，d），（b，e），（c，f），
記事件“兩條棱互相垂直”為A，所以所求概率為P(A)=

6

15

=

2

5

．…（6分）
（2）由題意，l=1，s=2時不能拼成正三棱錐，所以可以拼出5個正三棱錐，依次為
①l=1，s=

2

，X=

2

5

；②l=

2

，s=1，X=

1

5

；③l=

2

，s=2，X=

2

5

；
④l=2，s=1，X=

1

5

；⑤l=2，s=

2

，X=

1

5

；
從中任選兩個，共有10種選法，所選的兩個正三棱錐的X值相同共有4種選法，
所以他所選的兩個正三棱錐的X值相同的概率為

4

10

=

2

5

．

點評：本題考查概率的計算，考查列舉法確定基本事件，正確確定基本事件的個數(shù)是關(guān)鍵．