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(2011•黃岡模擬)設數列{an}的前n項和為Sn,且Sn=(m+1)-man對任意正整數n都成立,其中m為常數,m<-1
(1)求證:{an(2)}是等比數列;
(3)設數列{an(4)}的公比q=f(m)(5),數列{bn}(6)滿足:b1=
13
a1
(7),bn=f(bn-1)(8)(n≥2,n∈N)(9),求數列{bnbn+1}(10)的前n(11)項和Tn(12)
分析:(1)由已知得:an+1=man-man+1,即(m+1)an+1=man對任意n∈N*都成立.所以
an+1
an
=
m
m+1
,由此知數列{an}等比數列.
(2)因為a1=1,從而 b1=
1
3
,所以 bn=f(bn-1)=
bn-1
bn-1+1
(n≥2,n∈N*)
,
1
bn
=1+
1
bn-1
,即
1
bn
-
1
bn-1
=1
1
bn
=3+(n-1)=n+2
,bn=
1
n+2
(n∈N*)
,由此入手能求出Tn
解答:解:(1)由已知Sn+1=(m+1)-man+1(1)Sn=(m+1)-man(2)
由(1)-(2)得:an+1=man-man+1,
即(m+1)an+1=man對任意n∈N*都成立.∵m為常數,且m<-1.
又∵a1=1≠0∴
an+1
an
=
m
m+1
,即數列{an}等比數列(5分)
(2)當n=1時,a1=(m+1)-ma1,
∴a1=1,從而 b1=
1
3
,由(1)得,
bn=f(bn-1)=
bn-1
bn-1+1
(n≥2,n∈N*)

1
bn
=1+
1
bn-1
,即
1
bn
-
1
bn-1
=1

{
1
bn
}
為等差數列,
1
bn
=3+(n-1)=n+2
,bn=
1
n+2
(n∈N*)
,
bnbn+1=
1
(n+2)(n+3)
=
1
n+2
-
1
n+3
,
Tn=b1b2+b2b3+b3b4+…+bnbn+1
=
1
3
-
1
4
+
1
4
-
1
5
+
1
5
-
1
6
+…+
1
n+2
-
1
n+3

=
1
3
-
1
n+3
點評:本題考查等差數列的證明和數列前n項和的求法,解題時要認真審題,仔細解答,注意遞推公式的靈活運用.
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OA
|=|
OB
|=1,
OA
OB
的夾角為120°,
OC
OA
的夾角為30°,若
OC
OA
OB
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λ
μ
等于( �。�

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