Question

對于集合Ω={θ₁，θ₂，…，θ_n}和常數(shù)θ₀，定義：μ=

cos2(θ1-θ0)+cos2(θ2-θ0)+…+cos2(θn-θ0)

n

為集合Ω相對θ₀的“余弦方差”．
（1）若集合Ω={

π

3

，

π

4

}，θ₀=0，求集合Ω相對θ₀的“余弦方差”；
（2）若集合Ω={

π

3

，

2π

3

，π}，證明集合Ω相對于任何常數(shù)θ₀的“余弦方差”是一個常數(shù)，并求這個常數(shù)；
（3）若集合Ω={

π

4

，α，β}，α∈[0，π），β∈[π，2π），相對于任何常數(shù)θ₀的“余弦方差”是一個常數(shù)，求α，β的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：新定義,三角函數(shù)的求值

分析：由新定義結(jié)合三角函數(shù)公式分別計算可得．

解答： 解：（1）當(dāng)集合為Ω={

π

3

，

π

4

}，θ₀=0時，
集合Ω相對θ₀的“余弦方差μ=

cos2( π 3 -0)+cos2( π 4 -0)

2

=

3

8

；
（2）當(dāng)集合Ω={

π

3

，

2π

3

，π}時，
集合Ω相對于常數(shù)θ₀的“余弦方差”
μ=

cos2( π 3 -θ0)+cos2( 2π 3 -θ0)+cos2(π-θ0)

3

=

( 1 2 cosθ0+ 3 2 sinθ0)2+(- 1 2 cosθ0+ 3 2 sinθ0)2+cos2θ0

3

=

1 2 cos2θ0+ 3 2 sin2θ0+cos2θ0

3

=

1

2

∴此時“余弦方差”是一個常數(shù)，且常數(shù)為

1

2

；
（3）當(dāng)集合Ω={

π

4

，α，β}，α∈[0，π），β∈[π，2π）時，
集合Ω相對于任何常數(shù)θ₀的“余弦方差”
μ=

cos2( π 4 -θ0)+cos2(α-θ0)+cos2(β-θ0)

3

=

1

3

•[（

1

2

+cos2α+cos2β）cos²θ₀+（1+sin2α+sin2β）sinθ₀cosθ₀+（

1

2

+sin2α+sin2β）sin²θ₀]
要是上式是一個常數(shù)，則1+sin2α+sin2β=0且

1

2

+cos2α+cos2β=

1

2

+sin2α+sin2β
由α∈[0，π），β∈[π，2π）取α=

7π

12

，β=

11π

12

可滿足上式．

點評：本題考查新定義，涉及三角函數(shù)的恒等變換，屬中檔題．