Question

已知橢圓

x2

a12

+

y2

b12

=1（a₁＞b₁＞0）與雙曲線

x2

a22

+

y2

b22

=1（a₂＞0，b₂＞0）有公共焦點(diǎn)F₁、F₂，設(shè)P是它們的一個(gè)交點(diǎn)
（1）試用b₁、b₂表示△F₁PF₂的面積；
（2）當(dāng)b₁+b₂=m（m＞0）是常數(shù)時(shí)，求△F₁PF₂的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)∠F₁PF₂=θ，當(dāng)PF₁+PF₂=2a₁時(shí)，S△F1PF2=b₁²•

sinθ

1+cosθ

，當(dāng)PF₁-PF₂=2a²時(shí)，S△F1PF2 =

b22sinθ

1-cosθ

，由此能求出S△F1PF2=b1b2．
（2）當(dāng)b₁+b₂=m時(shí)，有m=b₁+b₂≥2

b1b2

，由此能求出面積的最大值是

m2

4

．

解答： 解：（1）設(shè)∠F₁PF₂=θ，當(dāng)PF₁+PF₂=2a₁時(shí)，
F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cosθ，
即2PF₁•PF₂cosθ=（PF₁+PF₂）²-2PF₁•PF₂-4c²=4a₁²-2PF₁•PF₂-4c²，
∴PF₁•PF₂=

2b12

1+cosθ

，
∴S△F1PF2=

1

2

×PF₁•PF₂sinθ=b₁²•

sinθ

1+cosθ

，
當(dāng)PF₁-PF₂=2a²時(shí)，
F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cosθ，
即2PF₁•PF₂cosθ=（PF₁-PF₂）²+2PF₁•PF₂-4c²=4a₂²+2PF₁•PF₂-4c²，
∴PF₁•PF₂=

2b22

1-cosθ

，
∴S△F1PF2 =

1

2

×PF₁•PF₂sinθ=

b22sinθ

1-cosθ

，
（S△F1PF2）²=

b12sinθ

1+cosθ

×

b22sinθ

1-cosθ

=b12•b22，
∴S△F1PF2=b1b2．
（2）當(dāng)b₁+b₂=m時(shí)，有m=b₁+b₂≥2

b1b2

，
即有b1b2≤

m2

4

，△F₁PF的面積S△F1PF2 ≤

m2

4

．
即面積的最大值是

m2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形面積的表示和面積最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線和橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的靈活運(yùn)用．