Question

若直線l：y=x與圓心在第二象限的⊙C相切于原點(diǎn)，且⊙C的半徑為2

2

．
（1）求⊙C的方程；
（2）試問⊙C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到點(diǎn)F（4，0）的距離為4，若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）設(shè)出圓C的圓心坐標(biāo)，因?yàn)榘霃綖?

2

，寫出圓C的方程，然后因?yàn)閳A與直線相切得到直線OC與y=x的斜率乘積為-1得到a與b的關(guān)系式，兩者聯(lián)立求解，由圓心C在第二象限得即可求出圓心坐標(biāo)得到圓的方程；
（2）以點(diǎn)F（4，0）為圓心，4為半徑的圓的方程（x-4）²+y²=16，兩方程相減可得y=3x，代入（x-4）²+y²=16，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)圓C的圓心為C（a，b），則圓C的方程為：（x-a）²+（y-b）²=8
∵直線y=x與圓C相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O，∴點(diǎn)O在圓C上，且直線OC垂直于直線y=x
于是有a²+b²=8，

b

a

=-1，
解得a=2，b=-2或a=-2，b=2，
由圓心C在第二象限得a=-2，b=2，
∴圓C的方程為（x+2）²+（y-2）²=8．
（2）以點(diǎn)F（4，0）為圓心，4為半徑的圓的方程（x-4）²+y²=16，
兩方程相減可得y=3x，
代入（x-4）²+y²=16，可得（x-4）²+9x²=16，
∴x=0或x=0.8，
∴y=2.4，
∴Q（0.8，2.4）．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩直線垂直時(shí)斜率乘積為-1的條件解決問題的能力，會(huì)根據(jù)條件寫出直線的方程及會(huì)根據(jù)條件寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．