Question

己知F₁，F(xiàn)₂為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且當(dāng)點(diǎn)A在y軸上時(shí)，

F1A

•

F1F2

=2S △F1F2A
（1）求橢圓C的離心率；
（2）己知

AF1

•

AF2

的最大值為1，求橢圓C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì),向量在幾何中的應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可取A（0，b），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．由于S△F1F2A=

1

2

×2c×b=bc.

F1A

•

F1F2

=2S △F1F2A，利用數(shù)量積運(yùn)算可得2c²=2bc，解得a，b，c即可．．
（2）利用數(shù)量積的性質(zhì)可得：

AF1

•

AF2

≤|

AF1

| |

AF2

|，取等號時(shí)，點(diǎn)A為橢圓位于橢圓的右端點(diǎn)，而|

AF1

| |

AF2

|=（a-c）（a+c）=1，可得

a2-c2=1 b=c a2=b2+c2

，解得即可．

解答： 解：（1）由題意可取A（0，b），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．
∴

F1A

=（c，b），

F1F2

=（2c，0），S△F1F2A=

1

2

×2c×b=bc．
∵

F1A

•

F1F2

=2S △F1F2A，
∴2c²=2bc，解得b=c
．∴a=

b2+c2

=

2

c．
∴e=

c

a

=

2

2

．
（2）

AF1

•

AF2

=|

AF1

| |

AF2

|cos∠F1AF2≤|

AF1

| |

AF2

|，取等號時(shí)，點(diǎn)A為橢圓位于橢圓的右端點(diǎn)，
∴|

AF1

| |

AF2

|=（a-c）（a+c）=1，
聯(lián)立

a2-c2=1 b=c a2=b2+c2

，
解得b=c=1，a²=2．
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量的數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．