Question

已知

a

=（2sinx，2cosx），

b

=（

3

cosx，cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

+m在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為2．
（Ⅰ）求常數(shù)m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊是a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC面積為

3 3

4

，求邊長a．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算化簡f（x），整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域以及最大值為2即可確定出m的值；
（Ⅱ）由f（A）=1，以及第一問確定出的f（x）解析式，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，已知等式sinB=3sinC，利用正弦定理化簡得到關(guān)系式，再利用余弦定理列出關(guān)系式，兩關(guān)系式聯(lián)立求出b與c的值，最后利用余弦定理即可求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

a

•

b

+m=2

3

sinxcosx+2cos²x+m=

3

sin2x+1+cos2x+m=2sin（2x+

π

6

）+m+1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
則當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時(shí)，f（x）_max=f（

π

6

）=m+3=2，
解得：m=-1；
（Ⅱ）∵f（A）=1，∴2sin（2A+

π

6

）=1，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
又0＜A＜π，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，
又sinB=3sinC，由正弦定理得b=3c①，
且S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3 3

4

，即bc=3②，
聯(lián)立①②，解得：b=3，c=1，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=9+1-3=7，
則a=

7

．

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．