Question

雙曲線C₁的中心在原點，焦點在x軸上，且過點A（

5

，

3

），雙曲線C₂中心在原點，焦點在y軸上，且過點B（

10

，

7

）．C₁的實軸長等于C₂虛軸長，C₁的虛軸長等于C₂實軸長，求雙曲線C₁、C₂的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設(shè)C₁：

x2

a1

-

y2

b1

=1，C₂：

y2

a2

-

x2

b2

=1，由題意設(shè)a₁=b₂=a，a₂=b₁=b，則

5

a

-

3

b

=1，且

7

b

-

10

a

=1，由此能求出雙曲線C₁和C₂的方程．

解答： 解：設(shè)C₁：

x2

a1

-

y2

b1

=1，C₂：

y2

a2

-

x2

b2

=1，
由題意設(shè)a₁=b₂=a，a₂=b₁=b，
∵雙曲線C₁的中心在原點，焦點在x軸上，且過點A（

5

，

3

），
∴

5

a

-

3

b

=1，①
∵雙曲線C₂中心在原點，焦點在y軸上，且過點B（

10

，

7

），
∴

7

b

-

10

a

=1，②
由①②解得a=

1

2

，b=

1

3

．
∴雙曲線C₁：2x²-3y²=1，雙曲線C₂：3y²-2x²=1．

點評：本題考查雙曲線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線的簡單性質(zhì)的靈活運用．