已知a=(cosasina),b=(cosb,sinb)(<a<b<180°)。

1)求證:a+ba-b互相垂直;

2)若ka+bka-b大小相等,求b-a。(其中kÎRk¹0)。

答案:
解析:

[解法一](1)依題意知a+b=(cosa+cosb,sina+sinba-b=(cosa-cosb,sina-sinb),

又(a+b)(a-b)=(cosa+cosb)(cosa-cosb)+(sina+sinb)(sina-sinb)=cos2a-cos2b+sin2a-sin2b=0,

∴ (a+b)^(a-b)

(2)∵ ka+b=(kcosa+cosb,ksina+sinb),ka-b=(kcosa-cosb,ksina-sinb)

∵ |ka+b|=|ka-b|,∴ 2kcos(b-a)=-2kcos(b-a)且k¹0,∴ cos(b-a)=0

又∵ 0°<a<b<180°  ∴ b-a=90°。

[解法二](1)由于(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=cos2a+sin2a-cos2b-sin2b=0

∴ (a+b)^(a-b)

(2)∵ |ka+b|=|ka-b|,∴ (ka+b)2=(ka-b)2,展開得ab=0,∴ cos(b-a)=0

由此可得b-a=90°。


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