Question

動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線,的距離之比為 ．
（1）求的軌跡方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線（與x軸不重合）與（1）中軌跡交于兩點(diǎn)、.探究是否存在一定點(diǎn)E(t，0)，使得x軸上的任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)E、F)到直線EM、EN的距離相等？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1） ;（2）2

試題分析：（1）動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線,的距離之比為 .根據(jù)兩點(diǎn)的距離即點(diǎn)到直線的距離公式，即可求出結(jié)論.
（2）根據(jù)題意假設(shè)直線方程聯(lián)立橢圓方程消去y，得到一個(gè)關(guān)于x的二次方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理得到M,N的坐標(biāo)的關(guān)系式.因?yàn)轭}意要求x軸上的任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)E、F)到直線EM、EN的距離相等，所以滿足.結(jié)合韋達(dá)定理，即可得到結(jié)論.
試題解析：（1）由題意得, ,
化簡(jiǎn)得,,即,即點(diǎn)的軌跡方程
（2）若存在點(diǎn)E(t，0)滿足題設(shè)條件.并設(shè)M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，
當(dāng)⊥x軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，x軸上的任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)E、F)到直線EM、EN的距離相等
當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)．
，得，
所以
根據(jù)題意，x軸平分∠MEN，則直線ME、NE的傾斜角互補(bǔ)，即K_ME＋K_NE＝0．
設(shè)E(t，0)，則有(當(dāng)x₁＝t或x₂＝t時(shí)不合題意)
又k≠0，所以，將y₁＝k(x₁－1)，y₂＝k(x₂－1)代入上式，得
又k≠0，所以，即，
，，將代入，解得t＝2．
綜上，存在定點(diǎn)E(2，0)，使得x軸上的任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)E、F)到直線EM、EN的距離相等.