Question

已知A，B，C是橢圓W：＋y²＝1上的三個點，O是坐標原點．
(1)當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；
(2)當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．

Answer 1

(1)   (2) 不可能,理由見解析

解：(1)橢圓W：＋y²＝1的右頂點B的坐標為(2,0)．
因為四邊形OABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分．
所以可設A(1，m)，
代入橢圓方程得＋m²＝1，即m＝±.
所以菱形OABC的面積是
|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝.
(2)四邊形OABC不可能為菱形．理由如下：
假設四邊形OABC為菱形．
因為點B不是W的頂點，且直線AC不過原點，
所以可設AC的方程為y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．
由
消y并整理得(1＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－4＝0.
設A(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，則＝－，＝k·＋m＝.
所以AC的中點為M.
因為M為AC和OB的交點，
所以直線OB的斜率為－.
因為k·≠－1，所以AC與OB不垂直．
所以四邊形OABC不是菱形，與假設矛盾．
所以當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能是菱形．