Question

已知△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，

m

=（a，2b-c），

n

=（cosA，cosC），且

m

∥

n

．
（1）求∠A的度數(shù)；
（2）若△ABC是銳角三角形，求sinB+sinC的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平行向量與共線(xiàn)向量

專(zhuān)題：解三角形

分析：（1）利用向量共線(xiàn)定理、正弦定理、兩角和差的正弦公式、誘導(dǎo)公式即可得出；
（2）利用三角形的內(nèi)角和定理、兩角和差的正弦公式、銳角三角形的定義、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

∥

n

，
∴（2b-c）cosA-acosC=0．
∴2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0，
∴2sinBcosA-sin（A+C）=0，
∴2sinBcosA-sinB=0，
∵B∈（0，π），∴sinB≠0．
∴cosA=

1

2

，
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

．
（2）sinB+sinC=sinB+sin(

2π

3

-B)
=sinB+

3

2

cosB-

1

2

sinB
=

1

2

sinB+

3

2

cosB
=sin(B+

π

3

)．
∵△ABC是銳角三角形，∴

π

6

＜B＜

π

2

，
∴

π

3

＜B+

π

3

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin(B+

π

3

)≤1．
∴sinB+sinC的取值范圍是(

1

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量共線(xiàn)定理、正弦定理、兩角和差的正弦公式、誘導(dǎo)公式、三角形的內(nèi)角和定理、銳角三角形的定義、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．