Question

（1）分析證明函數f（x）=lg

1-x

1+x

的奇偶性；
（2）寫出f（x）=-x²+2x的減函數區(qū)間，并證明y=f（x）在它上是減函數．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義即可判斷函數f（x）=lg

1-x

1+x

的奇偶性；
（2）寫出f（x）=-x²+2x的減函數區(qū)間，并證明y=f（x）在它上是減函數．

解答： 解：（1）要使函數f（x）有意義，由

1-x

1+x

＞0得-1＜x＜1，
f（-x）=lg

1+x

1-x

=lg（

1-x

1+x

）^-1=-lg

1-x

1+x

=-f（x），
則f（x）是奇函數．
（2）f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，則函數的減函數區(qū)間為[1，+∞），
證明：設任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=-x₁²+2x₁-（-x₂²+2x₂）=（x₂-x₁）（x₁+x₂+2），
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
故函數f（x）在[1，+∞）上是單調減函數．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，根據相應的定義是解決本題的關鍵．