【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若的值域為,求的值;
(Ⅱ)巳,是否存在這祥的實數(shù),使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點.若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)存在,
【解析】
(1)的值域為,則函數(shù)必須是開口向上、與軸有唯一交點的二次函數(shù).可以求出的值.
(2)已知某函數(shù)零點個數(shù),求參數(shù)問題,函數(shù)零點問題可以轉(zhuǎn)化為方程根或者通過轉(zhuǎn)化變成兩圖象交點個數(shù)問題.本題中令 ,則它的圖象非常熟悉,而在∈的圖象則需要考慮是否是二次函數(shù),當(dāng)確定是二次函數(shù)時,考慮函數(shù)的開口方向,對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系(為了更好的研究函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性,便于考慮它的性質(zhì)).
(Ⅰ)函數(shù)的值域為,則,解得.
(Ⅱ)由,
即
令,,∈,原命題等價于兩個函數(shù)與的圖象在內(nèi)有唯一交點.
(1)當(dāng)時,在上遞減,在上遞增,
而g(1)=1>0=h(1),g(2)=-1<1=h(2),
∴函數(shù)與的圖象在內(nèi)有唯一交點.
(2)當(dāng)時,圖象開口向下,對稱軸為,在上遞減,
在上遞增,與的圖象在內(nèi)有唯一交點,
當(dāng)且僅當(dāng),即即.
∴
(3)當(dāng)時,圖象開口向上,對稱軸為,在上遞減,在上遞增,與的圖象在內(nèi)有唯一交點,
,即即,
∴.
綜上,存在實數(shù),使函數(shù)于在區(qū)間內(nèi)有且只有一個點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知過原點的動直線與圓: 交于兩點.
(1)若,求直線的方程;
(2)軸上是否存在定點,使得當(dāng)變動時,總有直線的斜率之和為0?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左、右焦點分別為,,若橢圓經(jīng)過點,且△PF1F2的面積為2.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)斜率為1的直線與以原點為圓心,半徑為的圓交于A,B兩點,與橢圓C交于C,D兩點,且(),當(dāng)取得最小值時,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求的值;
(2)設(shè),當(dāng)時,的值域為,試求與的值;
(3)當(dāng)時,記,如果對于區(qū)間上的任意三個實數(shù)、、,都存在以、、為邊長的三角形,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,,.
(1)求角A的大;
(2)若a=3,求△ABC的周長L的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè),判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,并加以證明;
(2)若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
(3)設(shè)且時,的定義域和值域都是,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm,容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10cm,容器Ⅱ的兩底面對角線EG,E1G1的長分別為14cm和62cm. 分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均為12cm. 現(xiàn)有一根玻璃棒l,其長度為40cm.(容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計)
(1)將l放在容器Ⅰ中,l的一端置于點A處,另一端置于側(cè)棱CC1上,求l沒入水中部分的長度;
(2)將l放在容器Ⅱ中,l的一端置于點E處,另一端置于側(cè)棱GG1上,求l沒入水中部分的長度.
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