Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng),函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),求整數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí), 在上為增函數(shù);

當(dāng)時(shí), 在為減函數(shù),在為增函數(shù)；（2）1

【解析】

（1）求導(dǎo)，根據(jù)取值不同進(jìn)行分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)性；

（2）求導(dǎo)，問題轉(zhuǎn)化為在恒成立,常變量分離，

在恒成立,令，求導(dǎo)，求出的最小值，最后求出整數(shù)的最大值.

(1)定義域?yàn)?/span>,,

當(dāng)時(shí),,所以在上為增函數(shù);

當(dāng)時(shí),由得,當(dāng)時(shí), ,

當(dāng)時(shí),

所以在為減函數(shù),在為增函數(shù)，

綜上所述：當(dāng)時(shí), 在上為增函數(shù);

當(dāng)時(shí), 在為減函數(shù),在為增函數(shù).

(2)當(dāng)時(shí),, 若在區(qū)間上為增函數(shù),

則在恒成立,

即在恒成立,令.

，令,

可知，又當(dāng)時(shí)，,

所以函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn), 設(shè)為,即,且;

由上可知當(dāng)時(shí),即;當(dāng)時(shí)，,即,

所以,有最小值,

把代入上式可得,又因?yàn)?/span>,所以,

又恒成立,所以,又因?yàn)?/span>為整數(shù),

所以,所以整數(shù)的最大值為1 .