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6.設(shè)有窮數(shù)列{am}(m=1,2,3,4,…,n;n=2,3,4,…,)滿足以下兩個(gè)條件:
ni=1ai=0;②ni=1|ai|=1;稱{am}為n階“單位數(shù)列”.
(Ⅰ)分別寫出一個(gè)單調(diào)遞增的3階和4階“單位數(shù)列”;
(Ⅱ)若某2k+1(k∈N*)階“單位數(shù)列”是等差數(shù)列,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)記n階“單位數(shù)列”的前k項(xiàng)和為Sk(k=1,2,3,…,n),
求證:(1)|Sk|12;     (2)|ni=1aii|1212n

分析 (Ⅰ)結(jié)合已知新定義即可寫出符合條件的數(shù)列;
(Ⅱ)設(shè)該2013階“期待數(shù)列”的公差為d,由題意可得,a1+a2+a3+…+a2013=0,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求a1+a2013=0,從而可求得a1007=0,進(jìn)而可得a1008=d,分d>0及d<0兩種情況可求通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)(1)判斷k=n時(shí),|Sk|12,然后證明k<n時(shí),利用數(shù)列求和以及絕對值三角不等式證明即可;     
(2)通過數(shù)列求和,以及絕對值三角不等式和放縮法,利用裂項(xiàng)法求和,即可證明|ni=1aii|1212n

解答 解:(Ⅰ)數(shù)列12012為三階單位數(shù)列…1分
數(shù)列38181838為四階單位數(shù)列,…..…..3分(其它答案酌情給分)
(Ⅱ)設(shè)等差數(shù)列a1,a2,a3,…,a2k+1(k≥1)的公差為d,
∵a1+a2+a3+…+a2k+1=0,
2k+1a1+2k2k+1d2=0,
∴a1+kd=0,
即ak+1=0,∴ak+2=d,…4分
當(dāng)d=0時(shí),與單位數(shù)列的條件①②矛盾,…5分
當(dāng)d>0時(shí),據(jù)單位數(shù)列的條件①②得:ak+2+ak+3++a2k+1=12,
kd+kk12d=12d=1kk+1
由ak+1=0得a1+k1kk+1=0a1=1k+1,
an=1k+1+n11kk+1=nkk+11knNn2k+1.…7分
當(dāng)d<0時(shí),
同理可得kd+kk12d=12d=1kk+1,
由ak+1=0,得a1k1kk+1=0a1=1k+1,
an=1k+1n11kk+1=nkk+1+1knNn2n+1.…8分
(Ⅲ)證明:(1)當(dāng)k=n時(shí),顯然|Sn|=012成立;…9分
當(dāng)k<n時(shí),據(jù)條件①得Sk=a1+a2+…+ak=-(ak+1+ak+2+…+an),
即|Sk|=|a1+a2+…+ak|=|ak+1+ak+2+…+an|,
∴2|Sk|=|a1+a2+…+ak|+|ak+1+ak+2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|ak|+|ak+1|+|ak+2|+…+|an|=1,
|Sk|12k=123n.…11分
2|ni=1aii|=|a11+a22+a33+a44++an1n1+ann|,
=|S1+S2S12+S3S23+S4S34++Sn1Sn2n1+SnSn1n|
=|S12+S22×3+S33×4+S44×5++Sn1n1n+Snn|,
|S12|+|S22×3|+|S33×4|+|S44×5|++|Sn1n1n|,
1212+12×3+13×4+14×5++1n1n,
=1212+1213+1314+1415++1n11n,
=1212n.…13分.

點(diǎn)評 本題考查新數(shù)列新定義的應(yīng)用,數(shù)列求和的方法,放縮法以及絕對值三角不等式的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,難度較大,考查計(jì)算能力,屬于難題.

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