分析 (Ⅰ)結(jié)合已知新定義即可寫出符合條件的數(shù)列;
(Ⅱ)設(shè)該2013階“期待數(shù)列”的公差為d,由題意可得,a1+a2+a3+…+a2013=0,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求a1+a2013=0,從而可求得a1007=0,進(jìn)而可得a1008=d,分d>0及d<0兩種情況可求通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)(1)判斷k=n時(shí),|Sk|≤12,然后證明k<n時(shí),利用數(shù)列求和以及絕對值三角不等式證明即可;
(2)通過數(shù)列求和,以及絕對值三角不等式和放縮法,利用裂項(xiàng)法求和,即可證明|∑ni=1aii|≤12−12n.
解答 解:(Ⅰ)數(shù)列−12,0,12為三階單位數(shù)列…1分
數(shù)列−38,−18,18,38為四階單位數(shù)列,…..…..3分(其它答案酌情給分)
(Ⅱ)設(shè)等差數(shù)列a1,a2,a3,…,a2k+1(k≥1)的公差為d,
∵a1+a2+a3+…+a2k+1=0,
∴(2k+1)a1+2k(2k+1)d2=0,
∴a1+kd=0,
即ak+1=0,∴ak+2=d,…4分
當(dāng)d=0時(shí),與單位數(shù)列的條件①②矛盾,…5分
當(dāng)d>0時(shí),據(jù)單位數(shù)列的條件①②得:ak+2+ak+3+…+a2k+1=12,
∴kd+k(k−1)2d=12,即d=1k(k+1)
由ak+1=0得a1+k•1k(k+1)=0,即a1=−1k+1,
∴an=−1k+1+(n−1)1k(k+1)=nk(k+1)−1k(n∈N∗,n≤2k+1).…7分
當(dāng)d<0時(shí),
同理可得kd+k(k−1)2d=−12,即d=−1k(k+1),
由ak+1=0,得a1−k•1k(k+1)=0,即a1=1k+1,
∴an=1k+1−(n−1)1k(k+1)=−nk(k+1)+1k(n∈N∗,n≤2n+1).…8分
(Ⅲ)證明:(1)當(dāng)k=n時(shí),顯然|Sn|=0≤12成立;…9分
當(dāng)k<n時(shí),據(jù)條件①得Sk=a1+a2+…+ak=-(ak+1+ak+2+…+an),
即|Sk|=|a1+a2+…+ak|=|ak+1+ak+2+…+an|,
∴2|Sk|=|a1+a2+…+ak|+|ak+1+ak+2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|ak|+|ak+1|+|ak+2|+…+|an|=1,
∴|Sk|≤12(k=1,2,3,…,n).…11分
(2)|∑ni=1aii|=|a11+a22+a33+a44+…+an−1n−1+ann|,
=|S1+S2−S12+S3−S23+S4−S34+…+Sn−1−Sn−2n−1+Sn−Sn−1n|,
=|S12+S22×3+S33×4+S44×5+…+Sn−1(n−1)n+Snn|,
≤|S12|+|S22×3|+|S33×4|+|S44×5|+…+|Sn−1(n−1)n|,
≤12(12+12×3+13×4+14×5+…+1(n−1)n),
=12(12+12−13+13−14+14−15+…+1n−1−1n),
=12−12n.…13分.
點(diǎn)評 本題考查新數(shù)列新定義的應(yīng)用,數(shù)列求和的方法,放縮法以及絕對值三角不等式的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,難度較大,考查計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | \sqrt{3} | B. | -\sqrt{3} | C. | \frac{\sqrt{3}}{3} | D. | -\frac{\sqrt{3}}{3} |
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A. | \frac{1}{5} | B. | -\frac{1}{5} | C. | -\frac{5}{13} | D. | \frac{5}{13} |
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A. | 320 | B. | 160 | C. | 96 | D. | 60 |
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