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14.已知函數f(x)=sinx+3cosx,x∈R.
(Ⅰ)求f(x)的單調遞增區(qū)間;
(Ⅱ)設函數g(x)=[f(x)]2-2,x∈[0,\frac{π}{4}],求g(x)的值域.

分析 (Ⅰ)利用輔助角公式化簡,將已知函數解析式轉化為正弦函數,根據正弦函數圖象解答;
(Ⅱ)首項求得g(x)=2sin(2x+\frac{π}{6}),利用正弦函數圖象解題.

解答 解:(Ⅰ)f(x)=sinx+\sqrt{3}cosx=2sin(x+\frac{π}{3}).
由2kπ-\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}(k∈Z)
得:2kπ-\frac{5π}{6}≤x≤2kπ+\frac{π}{6}(k∈Z),故f(x)的單調遞增區(qū)間是:[2kπ-\frac{5π}{6},2kπ+\frac{π}{6}],k∈Z.
(Ⅱ)g(x)=[f(x)]2-2,
=4sin2(x+\frac{π}{3})-2,
=4×\frac{1}{2}[1-cos(2x+\frac{2π}{3})]-2,
=-2cos(2x+\frac{2π}{3}),
=2sin(2x+\frac{π}{6}).
∵x∈[0,\frac{π}{4}],
∴2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6},\frac{2π}{3}],
∴g(x)=2sin(2x+\frac{π}{6})的最大值是1,最小值是-2.

點評 本題考查三角函數中的恒等變換應用,正弦函數圖象.利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵.

練習冊系列答案
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