Question

已知圓心為C的圓，滿足下列條件：圓心C位于x軸正半軸上，與直線3x-4y+7=0相切，且被y軸截得的弦長(zhǎng)為2

3

，圓C的面積小于13．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若圓C上有兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線x+2y-1=0對(duì)稱(chēng)，且|MN|=2

3

，求直線MN的方程；
（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，3）的直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB．是否存在這樣的直線l，使得直線OD與PC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系

專(zhuān)題：綜合題,直線與圓

分析：（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合勾股定理，建立方程，根據(jù)圓C的面積小于13，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離以及垂徑定理求出直線方程中的參數(shù)，即可得到直線方程；
（3）分類(lèi)討論，設(shè)出直線方程與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，再假設(shè)

OD

∥

PC

，則-3（x₁+x₂）=y₁+y₂，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)圓C：（x-a）²+y²=R²（a＞0），
由題意知

|3a+7| 5 =R a2+3 =R

，解得a=1或a=

13

8

，…（3分）
又∵S=πR²＜13，
∴a=1，
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-1）²+y²=4．    …（4分）
（2）由題意，可設(shè)直線MN的方程為2x-y+m=0．…（6分）
則圓心O到直線MN的距離d=

|2+m|

5

．                
由垂徑分弦定理得：

(2+m)2

5

+3=4，即m=-2±

5

．
所以直線MN的方程為：2x-y-2±

5

=0．…（8分）
（3）當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l為：x=0不滿足題意．
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
又∵l與圓C相交于不同的兩點(diǎn)，
直線代入圓的方程，消去y得：（1+k²）x²+（6k-2）x+6=0，…（9分）
∴△=（6k-2）²-24（1+k²）=3k²-6k-5＞0，
解得k＜1-

2 6

3

或k＞1+

2 6

3

．
x₁+x₂=-

6k-2

1+k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+6=

2k+6

1+k2

，
假設(shè)

OD

∥

PC

，則-3（x₁+x₂）=y₁+y₂，
∴3×

6k-2

1+k2

=

2k+6

1+k2

，
解得k=

3

4

不滿足k＜1-

2 6

3

或k＞1+

2 6

3

，假設(shè)不成立．
∴不存在這樣的直線l．   …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)．