Question

【題目】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)為其右焦點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）是否存在平行于的直線，使得直線與橢圓有公共點(diǎn)，且直線與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)不存在．

【解析】

試題分析：(Ⅰ)設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用橢圓的定義和焦點(diǎn)坐標(biāo)求出有關(guān)參數(shù)值，進(jìn)而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)先假設(shè)存在符合題意的直線，并設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用判別式為正和點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解．

試題解析：（Ⅰ）依題意，可設(shè)橢圓的方程為，且可知左焦點(diǎn)為，

從而有，解得，又，∴.

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為.

由得.

∵直線與橢圓有公共點(diǎn)，∴，解得.

另一方面，直線與的距離等于4，可得，從而.

由于，∴符合題意的直線不存在.