Question

已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²-2

3

cos²x+

3

．
（1）將f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位后，得到偶函數(shù)g（x）的圖象，求m的最小值；
（2）在區(qū)間[0，π]上，求滿(mǎn)足f（x）≤2的x的取值集合M．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），再利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，結(jié)合題意，可求得m的最小值；
（2）由f（x）≤2即可確定x的取值集合M．

解答： 解：（1）∵f（x）=1+sin2x-

3

（1-cos2x）+

3

=1+2（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）
=2sin（2x+

π

3

），
將函數(shù)f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位
得到f（x+m）=2sin[2（x+m）+

π

3

]=2sin（2x+2m+

π

3

），
∵g（x）=f（x+m）=2sin（2x+2m+

π

3

）為偶函數(shù)，
∴2m+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴m=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z，
又m＞0，
∴m_min=

π

12

．
（2）∵x∈[0，π]
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，2π+

π

3

]
∵f（x）=2sin（2x+

π

3

）≤2，
∴滿(mǎn)足f（x）≤2的x的取值集合M={x|0＜x＜π}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，突出考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的轉(zhuǎn)化，屬于基本知識(shí)的考查．