Question

已知tanα，tαnβ是方程x²-3x-3=0的兩個根，求sin²（α+β）-3sin（α+β）cos（α+β）-3cos²（α+β）的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數(shù),三角函數(shù)的化簡求值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用韋達定理求出tanα+tαnβ，tanαtαnβ，推出tan（α+β），然后化簡所求表達式為正切函數(shù)的形式，求解即可．

解答： 解：tanα，tαnβ是方程x²-3x-3=0的兩個根，
∴tanα+tαnβ=3，tanαtαnβ=-3，
∴tan（α+β）=

tanα+tαnβ

1-tanαtαnβ

=

3

4

．
則sin²（α+β）-3sin（α+β）cos（α+β）-3cos²（α+β）
=

sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)

sin2(α+β)+cos2(α+β)

=

tan2(α+β)-3tan(α+β)-3

tan2(α+β)+1

=

9 16 -3× 3 4 -3

9 16 +1

=-3．

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，韋達定理的應(yīng)用，考查計算能力．