Question

已知函數(shù)y=f（x），x∈D，如果對(duì)于定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，對(duì)于給定的非零常數(shù)m，總存在非零常數(shù)T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的m級(jí)類增周期函數(shù)，周期為T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的m級(jí)類周期函數(shù)，周期為T．
（1）試判斷函數(shù)f(x)=log

1

2

(x-1)是否為（3，+∞）上的周期為1的2級(jí)類增周期函數(shù)？并說(shuō)明理由；
（2）已知函數(shù)f（x）=-x²+ax是[3，+∞）上的周期為1的2級(jí)類增周期函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）下面兩個(gè)問(wèn)題可以任選一個(gè)問(wèn)題作答，問(wèn)題（Ⅰ）6分，問(wèn)題（Ⅱ）8分，如果你選做了兩個(gè)，我們將按照問(wèn)題（Ⅰ）給你記分．
（Ⅰ）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上m級(jí)類周期函數(shù)，且y=f（x）是[0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=2^x，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（Ⅱ）已知當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-4x，若f（x）是[0，+∞）上周期為4的m級(jí)類周期函數(shù)，且y=f（x）的值域?yàn)橐粋�(gè)閉區(qū)間，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性,對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，計(jì)算得到log_

1

2

[（x+1）-1]＞2log 

1

2

（x-1），即 f（x+1）＞2f（x），從而得到函數(shù)f（x）是D上的2級(jí)類周期函數(shù)；（2）根據(jù)條件，得到相應(yīng)的關(guān)系式，再進(jìn)行參變量分離后，求出關(guān)于x的式子的最值，得到實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）利用題目中周期為T的函數(shù)f（x）是D上的m級(jí)類周期函數(shù)定義，分別對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵（x+1-1）-（x-1）²=-（x²-3x+1）＜0，即（x+1-1）＜（x-1）²
∴log_

1

2

[（x+1）-1]＞log 

1

2

（x-1）²，即log_

1

2

[（x+1）-1]＞2log 

1

2

（x-1），
即 f（x+1）＞2f（x）對(duì)一切x∈（3，+∞）恒成立，
故 f(x)=log

1

2

(x-1)是（3，+∞）上的周期為1的2級(jí)類增周期函數(shù)．
（2）由題意可知：f（x+1）＞2f（x），
即-（x+1）²+a（x+1）＞2（-x²+ax）對(duì)一切[3，+∞）恒成立，
∴（x-1）a＜x²-2x-1，
∵x≥3，
∴a＜

x2-2x-1

x-1

=

(x-1)2-2

x-1

=(x-1)-

2

x-1

，
令x-1=t，則t∈[2，+∞），g(t)=t-

2

t

在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（t）_min=g（2）=1，
∴a＜1．
（3）問(wèn)題（Ⅰ）∵x∈[0，1）時(shí)，f（x）=2^x，
∴當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f（x）=mf（x-1）=m•2^x-1，
當(dāng)x∈[n，n+1）時(shí)，f（x）=mf（x-1）=m²f（x-2）=…=mⁿf（x-n）=mⁿ•2^x-n，
即x∈[n，n+1）時(shí)，f（x）=mⁿ•2^x-n，n∈N^*，
∵f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴m＞0且mⁿ•2^n-n≥m^n-1•2^n-（n-1），
即m≥2．
問(wèn)題（Ⅱ）：∵當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，y∈[-4，0]，且有f（x+4）=mf（x），
∴當(dāng)x∈[4n，4n+4]，n∈Z時(shí)，f（x）=mf（x-4）=…=mⁿf（x-4n）=mⁿ[（x-4n）²-4（x-4n）]，
當(dāng)0＜m≤1時(shí)，f（x）∈[-4，0]；
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，f（x）∈[-4，-4m]；
當(dāng)m=-1時(shí)，f（x）∈[-4，4]；
當(dāng)m＞1時(shí)，f（x）∈（-∞，0]；
當(dāng)m＜-1時(shí)，f（x）∈（-∞，+∞）；
綜上可知：-1≤m＜0或0＜m≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、函數(shù)的代數(shù)思想、函數(shù)最值的求法、參變量分離的技巧，還考查了新定義問(wèn)題，本題難度較大，屬于難題．