如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面四邊形ABCD為矩形,PA=PD,AD=
2
AB=2,且平面PAD⊥平面.4BCD.
(Ⅰ)求證:PC⊥BD;
(Ⅱ)若四棱錐P-ABCD的體積為
4
2
3
,求二面角A-PC-D的余弦值.
考點:與二面角有關的立體幾何綜合題,棱柱、棱錐、棱臺的體積
專題:空間角
分析:(Ⅰ)取O為AD的中點,連接CO,PO,由已知條件推導出Rt△CDO∽Rt△DAB,從而得到BD⊥OC,由此能夠證明PC⊥BD.
(Ⅱ)由等體積法墳出PO=2,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角A-PC-D的余弦值.
解答: (Ⅰ)證明:取O為AD的中點,連接CO,PO,如下圖.
則在矩形ABCD中,∵
CD
AD
=
DO
AB
=
2
2
,∴Rt△CDO∽Rt△DAB,
∴∠OCD=∠BDA,∴∠OCD+∠CDB=90°,
∴BD⊥OC,…(3分)
∵PA=PD,O為AD中點,∴PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD.
∴PO⊥平面ABCD,∴PO⊥BD.
又OC?平面POC,PO?平面POC,∴BD⊥平面POC,
又PC?平面POC,∴PC⊥BD.…(6分)
(Ⅱ)解:由VP-ABCD=
1
3
S矩形ABCD•PO=
1
3
×2×
2
•PO=
4
2
3
,解得PO=2,…(7分)
建立如圖所示空間直角坐標系,則有
A(1,0,0),P(0,0,2),C(-1,
2
,0),D(-1,0,0)
,
AP
=(-1,0,2),
AC
=(-2,
2
,0)
DP
=(1,0,2),
DC
=(0,
2
,0)
.…(8分)
設平面PAC的一個法向量為
n1
n1=(x1,y1,z1),
則有
n1
AP
=0
n1
AC
=0
,即
-x1+2z1=0
-2x1+
2
y1=0
,令z1=1,得
n1
=(2,2
2
,1)
,
同理,設平面PAD的一個法向量為
n2
=(x2,y2,z2),
則有
n2
DP
=0
n2
DC
=0
,即
x2+2z2=0
2
y2=0
,令x2=2,得
n2
=(2,0,-1),
cos?n1n2>=
n1n2
|n1|•|n2|
=
4-1
13
×
5
=
3
65
65
,…(10分)
由圖可知二面角A-PC-D為銳二面角,
故二面角A-PC-D的余弦值為
3
65
65
.…(12分)
點評:本題考查異面直線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如果α在第二象限,則
α
2
必定在( 。
A、第一或第二象限
B、第一或第三象限
C、第三或第四象限
D、第二或第四象限

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平面直角坐標系xOy中,已知平面向量
ON1
=(a,0),
ON2
=(0,b),其中a,b為[-2,2]上的兩個隨機實數(shù),定義平面上的點集Ω,Ω1,Φ分別為Ω={P|
OP
=
ON1
+
ON2
},Ω1={Q|
QN1
|=|
QN2
|=
2
且|QP|<1,P∈Ω},Φ:Ω1∪{R|
3
<|
OR
|<2}.若在Ω對應的平面區(qū)域內(nèi)隨機取一個點W,則點W落在Φ對應的平面區(qū)域內(nèi)的概率為(  )
A、
π
16
B、1-
64
C、
π
64
D、
64

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若x=
π
12
,則sin4x-cos4x的值為(  )
A、
1
2
B、-
1
2
C、-
3
2
D、
3
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,H分別是棱A1B1,D1C1上的點(點E與B1不重合),且EH∥A1D1,過EH的平面與棱BB1,CC1相交,交點分別為F,G.設AB=2AA1=2a,EF=a,B1E=B1F.在長方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機選取一點,則該點取自于幾何體A1ABFE-D1DCGH內(nèi)的概率為( 。
A、
11
16
B、
3
4
C、
13
16
D、
7
8

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

甲、乙、丙三人參加一項技能測試,已知甲通過測試的概率為
3
5
,乙通過測試的概率為
1
2
,乙、丙兩人同時通過測試的概率為
1
3
,且三人能否通過測試相互獨立.
(1)求三人中至少一人通過測試的概率;
(2)設X為甲、乙、丙三人中通過測試的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(Ⅰ)若點M、N分別是邊A1B1、BC的中點,求證:MN∥平面ACC1A1
(Ⅱ)證明:AB⊥A1C;
(Ⅲ)若AB=CB=2,A1C=
6
,求二面角B-AC-A1的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(2-b)lnx+2bx+
1
x
(b∈R).
(Ⅰ)當b<0時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當-3<b<-2時,若存在λ1,λ2∈[1,3],使得|f(λ1)-f(λ2)|>(m+ln3)b-2ln3成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平面直角坐標系中,點P是不等式組 
x-2y+2≥0
x+y-1≥0
x≤2
所確定的平面區(qū)域內(nèi)的動點,Q是直線2x+y=0上的任意一點,O為坐標原點,則|
OP
+
OQ
|的最小值為
 

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