Question

設(shè)橢圓

x2

2

+

y2

b2

=1（b＞0）的右焦點為F，F(xiàn)（1，0）
（1）求b的值
（2）過點（-2，0）作直線L與橢圓交于A、B兩點，線段AB中點為M，|MF|=

53

3

，求直線L方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓a，b，c的關(guān)系，可求b的值
（2）設(shè)直線方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，求出M的坐標(biāo)，利用|MF|=

53

3

，求出k，即可求直線L方程．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

2

+

y2

b2

=1（b＞0）的右焦點為F，F(xiàn)（1，0），
∴2-b²=1，
∴b=1；
（2）設(shè)直線方程為y=k（x+2），代入橢圓方程

x2

2

+y²=1，可得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8k2

1+2k2

，x₁x₂=

8k2-2

1+2k2

，
∵線段AB中點為M，
∴M（-

4k2

1+2k2

，

2k

1+2k2

），
∵|MF|=

53

3

，
∴

(- 4k2 1+2k2 -1)2+ 4k2 (1+2k2)2

=

53

3

，
∴28k⁴-17k²-11=0，
∴k=±1，
∴直線L方程為y=±（x+2）．

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，確定M的坐標(biāo)是關(guān)鍵．