Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：-1+3-5+…+（-1）ⁿ（2n-1）=（-1）ⁿn．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：首先證明當(dāng)n=1時等式成立，再假設(shè)n=k時等式成立，得到等式1+3+5+…+（2k-1）=k²，下面證明當(dāng)n=k+1時等式左邊=1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1），根據(jù)前面的假設(shè)化簡即可得到結(jié)果，最后得到結(jié)論．

解答： 證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊=-1，右邊=-1，
∴左邊=右邊
（2）假設(shè)n=k時等式成立，即：-1+3-5+…+（-1）^k（2k-1）=（-1）^kk；
當(dāng)n=k+1時，等式左邊=-1+3-5+…+（-1）^k（2k-1）+（-1）^k+1（2k+1）
=（-1）^kk+（-1）^k+1（2k+1）
=（-1）^k+1．（-k+2k+1）
=（-1）^k+1（k+1）．
這就是說，n=k+1時，等式成立．
綜上（1）（2）可知：-1+3-5+…+（-1）ⁿ（2n-1）=（-1）ⁿn對于任意的正整數(shù)成立．

點評：本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立，用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟是：第一步驗證當(dāng)n=n₀時命題成立，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，那么再證明當(dāng)n=k+1時命題也成立．本題解題的關(guān)鍵是利用第二步假設(shè)中結(jié)論證明當(dāng)n=k+1時成立，本題是一個中檔題目．