Question

2．設(shè)a＜0，（x²+2017a）（x+2016b）≥0在（a，b）上恒成立，則b-a的最大值為2017．

Answer 1

分析 由題意可得x²+2017a≥0，x+2016b≥0或x²+2017a≤0，x+2016b）≤0成立，若x+2016b≥0在（a，b）上恒成立，則a+2016b≥0，即b$≥-\frac{a}{2016}＞0$，此時(shí)當(dāng)x=0時(shí)，x²+2017a=2017a≥0不成立；若x+2016b≤0在（a，b）上恒成立，則b+2016b≤0，即b≤0，若x²+2017a≤0在（a，b）上成立，則a²+2017a≤0，即-2017≤a＜0．由此即可求得b-a的最大值．

解答 解：∵（x²+2017a）（x+2016b）≥0在（a，b）上恒成立，
∴x²+2017a≥0，x+2016b≥0或x²+2017a≤0，x+2016b）≤0成立，
①若x+2016b≥0在（a，b）上恒成立，則a+2016b≥0，即b$≥-\frac{a}{2016}＞0$，
此時(shí)當(dāng)x=0時(shí)，x²+2017a=2017a≥0不成立；
②若x+2016b≤0在（a，b）上恒成立，則b+2016b≤0，即b≤0，若x²+2017a≤0在（a，b）上成立，
則a²+2017a≤0，即-2017≤a＜0．
故b-a的最大值為2017．
故答案為：2017．

點(diǎn)評 本題考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力，屬中檔題．