Question

已知函數(shù)．

（1）求證：時，恒成立；

（2）當時，求的單調(diào)區(qū)間．

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見試題解析；（2）時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)增區(qū)間．

【解析】

試題分析：（1）當時，，根據(jù)求函數(shù)極值的一般步驟，先求函數(shù)的定義域，再求導數(shù)，解的方程，得可能的極值點，進一步得函數(shù)的單調(diào)性，最后得的最小值，從而證得恒成立；（2）當時，先求的導數(shù)：，根據(jù)表達式的結(jié)構(gòu)特征，分子為，故只需分，，幾種情況，分別求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

試題解析：（1）當時，，，，令，解得：．當時，，在上單調(diào)遞減； 當時，，在上單調(diào)遞增，∴．

所以，， ． 5分

（2）的定義域為，．

①當時，，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

②當時，．令，解得：．

ⅰ）當時，，令，解得：．令，解得：或，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．

ⅱ）當時，，此時，在區(qū)間上單調(diào)遞減．

綜上，時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)增區(qū)間． 13分

考點：1．利用導數(shù)證明不等式；2．利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性．