Question

如圖關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個數(shù)列{a_n}，a_n（n∈N^*）對應圖中星星的個數(shù)．

（1）寫出a₅，a₆的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{

1

an

}的前n項和S_n，求證S_n＜2；
（3）若b_n=

2n2-9n-11

2n

，對于（2）中的S_n，有c_n=S_n•b_n，求數(shù)列{|c_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,歸納推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由圖的規(guī)律求出a₅，a₆的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）求出

1

an

=

2

n(n+1)

，再進行裂項，利用裂項相消法求出前n項和S_n，化簡后證明不等式成立；
（3）由（2）化簡S_n，代入c_n=S_n•b_n進行因式分解，由通項公式判斷出是等差數(shù)列，再由前n項和公式求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n′，根據(jù)正負項對n分類后，分別去到絕對值后，利用和T_n′求出數(shù)列{|c_n|}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）由圖得，a₅=1+2+3+4+5=15，a₆=1+2+3+4+5+6=21，
所以a_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

；　
證明：（2）由（1）得，

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
則S_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2（1-

1

n+1

）=2-

2

n+1

又n∈N^*，所以S_n＜2；
解：（3）由（2）得S_n=2-

2

n+1

=

2n

n+1

，
由題意得，c_n=S_n•b_n=

2n

n+1

•

2n2-9n-11

2n

=

(2n-11)(n+1)

n+1

=2n-11，
則數(shù)列{c_n}是以2為公差、以-9為首項的等差數(shù)列，
所以數(shù)列{c_n}的前n項和T_n′=c₁+c₂+…+c_n=

n(-9+2n-11)

2

=n²-10n，
①當1≤n≤5時，T_n=|c₁|+|c₂|+…+|c_n|=-（c₁+c₂+…+c_n）=-n²+10n，
②當n≥6時，T_n=|c₁|+|c₂|+…+|c_n|
=-（c₁+c₂+…+c₅）+（c₆+c₇+…+c_n）
=-T₅′+T_n′-T₅′=-2T₅′+T_n′=n²-10n+50，
綜上得，Tn=

-n2+10n，1≤n≤5 n2-10n+50，n≥6

．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，裂項相消法求數(shù)列的和，以及分類討論思想，歸納推理，比較綜合．