Question

已知函數f（x）=

1

3

x³+bx²+cx+

1

6

的圖象在點M（1，f（1））處的切線方程為2x+y=0．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）若關于x的方程f（x）=m在區(qū)間[0，3]上恰有兩個相異實根，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,函數解析式的求解及常用方法,根的存在性及根的個數判斷

專題：計算題,數形結合,導數的綜合應用

分析：（1）求出函數f（x）的導數，在點M（1，f（1））處的切線方程為2x+y=0，則f（1）=-2，f′（1）=-2．列出關于b，c的方程，解出即可；
（2）求出f（x）在區(qū)間[0，3]上的最值，畫出圖象，以及直線y=m，通過圖象觀察即可得到滿足條件的m的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=

1

3

x³+bx²+cx+

1

6

的導數f′（x）=x²+2bx+c，
∵在點M（1，f（1））處的切線方程為2x+y=0，
∴f（1）=-2，f′（1）=-2．
即有

1

3

+b+c+

1

6

=-2，且1+2b+c=-2，
解得b=-

1

2

，c=-2．
則函數y=f（x）的解析式為f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-2x+

1

6

．
（2）f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-2x+

1

6

，f′（x）=x²-x-2，
由于x∈[0，3]，
當0＜x＜2時，f′（x）＜0，f（x）遞減；當2＜x＜3時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
則f（x）在x=2處取極小值，也為最小值，且為-

19

6

，f（0）=

1

6

，f（3）=-

4

3

．
畫出f（x）在區(qū)間[0，3]上的圖象，以及直線y=m，
由圖象觀察得到當m∈(-

19

6

，-

4

3

]時，恰有兩個交點，
即f（x）=m在區(qū)間[0，3]上恰有兩個相異實根．

點評：本題考查導數的綜合應用：求切線方程、求單調區(qū)間、極值和最值，同時考查數形結合的能力，屬于中檔題．