Question

【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在，使成立，求整數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時， 單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減； （2）.

【解析】試題分析：(1)求導(dǎo)，分類討論時三種情況的單調(diào)性(2)分離含參量，構(gòu)造新函數(shù)，，求導(dǎo)算出零點的范圍，從而求出結(jié)果

解析：（1）由題意可知，，，

方程對應(yīng)的，

當(dāng)，即時，當(dāng)時，，

∴在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，方程的兩根為，

且 ，

此時，在上，函數(shù)單調(diào)遞增，

在上，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，，

此時當(dāng)，單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

綜上：當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；

（2）原式等價于，

即存在，使成立．

設(shè)，，

則，

設(shè)，

則，∴在上單調(diào)遞增．

又，根據(jù)零點存在性定理，可知在上有唯一零點，設(shè)該零點為， 則，且，即，

∴

由題意可知，又，，∴的最小值為.