Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，點D在棱AB上．
（1）若D是AB中點，求證：AC₁∥平面B₁CD；
（2）當

BD

AB

=

1

3

時，求二面角B-CD-B₁的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）根據線面平行的判定定理即可證明AC₁∥平面B₁CD；
（2）建立空間坐標系，利用向量法即可求二面角B-CD-B₁的余弦值．

解答： 解：（1）證明：連結BC₁，交B₁C于E，連接DE．
因為 直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中點，
所以 側面B B₁C₁C為矩形，DE為△ABC₁的中位線，
所以 DE∥AC₁．
因為 DE?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
所以 AC₁∥平面B₁CD．
（2）由（1）知AC⊥BC，如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz．
則B （3，0，0），A （0，4，0），A1 （0，4，4），B1 （3，0，4）．
設D （a，b，0）（a＞0，b＞0），因為 點D在線段AB上，且

BD

AB

=

1

3

，即

BD

=

1

3

BA

．
所以a=2，b=

4

3

，

BD

 =(-1，

4

3

，0)，

CB1

=(3，0，4)，

CD

=(2，

4

3

，0)．
平面BCD的法向量為

n 1

=(0，0，1)． 
設平面B₁ CD的法向量為

n 2

=(x，y，1)，
由

CB1

•

n 2

=0，

CD

•

n 2

=0，得 

3x+4=0 2x+ 4 3 y=0

，
所以 x=-

4

3

，y=2，

n 2

=(-

4

3

，2，1)．
所以  cosθ=

n 1 • n 2

| n 1 || n 2 |

=

3

61

．
所以二面角B-CD-B₁的余弦值為

3 61

61

．

點評：本題主要考查線面平行的判定依據二面角的求解，根據相應的判定定理以及利用坐標法是解決二面角的基本方法．