Question

【題目】設(shè)函數(shù)， ．

（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；極小值；（2）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、函數(shù)零點問題等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.（Ⅰ）先對求導(dǎo)，令解出，將函數(shù)的定義域斷開，列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，所以由表格知當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，同時也是最小值；（Ⅱ）利用第一問的表，知為函數(shù)的最小值，如果函數(shù)有零點，只需最小值，從而解出，下面再分情況分析函數(shù)有幾個零點.

試題解析：（Ⅰ）由，（）得

.

由解得.

與在區(qū)間上的情況如下：

所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；

在處取得極小值.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在區(qū)間上的最小值為.

因為存在零點，所以，從而.

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，

所以是在區(qū)間上的唯一零點.

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，

所以在區(qū)間上僅有一個零點.

綜上可知，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點.