Question

已知等差數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，且Sn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，S₂=

2

3

，S₃=

3

4

．設[x]表示不大于x的最大整數(shù)（如[2.10]=2，[0.9]=0）．
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）求T=[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂（2 an-1）]+[log2（2 an）]關于n的表達式．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用裂項法求和，結合S₂=

2

3

，S₃=

3

4

，即可求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）先化簡，再利用錯位相減法，即可得出結論．

解答： 解：（1）S_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

d

（

1

a1

-

1

an+1

），
∵S₂=

2

3

，S₃=

3

4

，
∴

1

d

（

1

a1

-

1

a3

）=

2

3

，

1

d

（

1

a1

-

1

a4

）=

3

4

，
∴a₁=1，d=1，
∴a_n=n；
（2）T=[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂（2 an-1）]+[log₂（2 an）]
=[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂（2ⁿ-1）]+[log₂（2ⁿ）]
∵[log₂1]=0，
[log₂2]=[log₂3]=1，
…
[log₂2^m]=[log₂（^m+1）]=…=[log₂（^m+1-1）]=m．
∴[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂（2ⁿ-1）]+[log₂（2ⁿ）]=0+1×2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n，
由S=1×2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1，
則2S=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ，
∴-S=1×2+1×2²+…+2^n-1-（n-1）•2ⁿ=

2(1-2n-1)

1-2

-（n-1）•2ⁿ，
∴S=（2-n）•2ⁿ-2
∴T=（2-n）•2ⁿ-2+n．

點評：本題考查數(shù)列的應用，考查錯位相減法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．