Question

設(shè)圓x²+y²=a²+b²與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）在第一象限的交點為P，若雙曲線的左、右焦點分別為F₁、F₂，且tan∠PF₂F₁=

3

2

，則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知條件推導(dǎo)出F₁，F(xiàn)₂分別是圓與x軸的交點，PF₁⊥PF₂，|PF₁|=6a，|PF₂|=4a，由此利用勾股定理能求出雙曲線的離心率．

解答： 解：如圖，∵圓x²+y²=a²+b²與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）在第一象限的交點為P，雙曲線的左右焦點分別為F₁、F₂，
∴F₁，F(xiàn)₂分別是圓與x軸的交點，
∴PF₁⊥PF₂，
∵tan∠PF₂F₁=

3

2

，
∴

|PF1|

|PF2|

=

3

2

，
由雙曲線定義知：
|PF₁|-|PF₂|=

1

2

|PF2|=2a，
∴|PF₁|=6a，|PF₂|=4a，
∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
∴（6a）²+（4a）²=（2c）²，
解得c=

13

a，
∴e=

c

a

=

13

．
故答案為：

13

．

點評：本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運用．